«Исследование одной системы дифференциальных уравнений» - Дипломная работа

Содержание

Введение….….….…3

Глава I. Существование бифуркационного значения параметра систем дифференциальных уравнений….4

Глава II. Существование периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет действительные собственные значения….….9

Заключение….….….….….….17

Список использованной литературы.….….…18

Введение

Вопросы существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра являются основными в качественной теории. Однако достаточно общих методов, позволяющих решить проблему существования периодических решений для таких систем не существует.

Если в случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, для определения периодических решений наиболее удобными являются методы малого параметра Ляпунова-Пуанкаре, то для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом применение методов малого параметра Ляпунова-Пуанкаре встречает трудности. В том случае, когда существование и аналитическая зависимость периодического решения от параметра заранее известны, то это решение может быть вычислено с любой степенью точности методом разложения его по степеням малого параметра. Однако аналитическая зависимость периодических решений от параметров для систем с отклонением имеет место не всегда, а если она есть, то доказать ее очень трудно. Поэтому большой интерес представляет разработка различных методов качественного исследования дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Настоящая работа состоит в получении достаточных условий существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра, близких к нулю при малых значениях параметра.

Основными методами, применяемыми в работе для определения условий существования бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра, является метод неподвижной точки оператора, метод сжимающих отображений.

Выдержка из текста работы

ГЛАВА I. СУЩЕСТВОВАНИЕ БИФУРКАЦИОННОГО ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана система дифференциальных уравнений вида

, (1)

где искомая вектор-функция, – значение i-ой компоненты j1-мерной вектор-функции , – значение j-ой компоненты j2 – мерной функции , μ – m-мерный вектор-параметр, – матрица, определенная на множестве , – – матрица, – n-мерное векторное пространство, множество всех действительных чисел, .

Под решением системы (1) будем понимать вектор-функцию , непрерывно дифференцируемую на I и при любом удовлетворяющую системе (1).

Определение. Вектор μ0 назовем бифуркационным значением параметра μ системы (1), если каждому соответствует такой вектор μ, который удовлетворяет неравенству и при котором система (1) имеет ненулевое ω - периодическое решение, удовлетворяющее неравенству при любом .

Введем обозначения:

, ,

, ,

где – вектор-функция, определенная на .

Пусть некоторые постоянные числа.

Будем говорить, что матрица F, вектор-функции Т, N удовлетворяют условию Н, если:

1) матрица на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов, ω - периодична по t и удовлетворяет условию Липшица по переменным t, z, θ, u соответственно с постоянными k1, k2, k3, k4;

2) вектор-функция на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов, ω - периодична по t и удовлетворяет условию Липшица по переменным t, z, q соответственно с постоянными s1, s2, s3;

3) вектор-функция на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов, ω - периодична по t и удовлетворяет условию Липшица по переменным t, z, q соответственно с постоянными r1, r2, r3.

Если матрица удовлетворяет условию Н, то система (1) имеет нулевое решение при всех значениях параметра μ и .

Символом обозначим множество всех непрерывно-дифференцируемых на I, ω - периодических по t вектор-функций , для которых при любом t выполняются неравенства .

Пусть – множество постоянных векторов γ, удовлетворяющих условию .

Одновременно с системой (1) рассмотрим систему уравнений

, (2)

где , .

Пусть фундаментальная матрица решения системы (2) и такая, что .

Любое решение системы (2) определяется равенством

, (3)

где некоторый постоянный вектор.

Теорема 1.Неподвижные точки оператора (3) во множестве являются ω - периодическими решениями системы уравнений (1).

Доказательство. Пусть неподвижная точка оператора (3). Возьмем вектор-функцию и подставим ее в матрицу в системе (1), получим систему (2), решение которой определяется равенством (3). Так как вектор-функция удовлетворяет равенству (3), то, следовательно, является решением системы (2). Подставив в систему уравнений (2) , получим, что удовлетворяет системе уравнений (1). Следовательно, вектор-функция является ω - периодическим решением системы уравнений (1). Теорема доказана.

Теорема2.Пусть

1) и некоторые непустые замкнутые компактные множества некоторых линейных нормированных пространств, – выпуклое множество;

2) на подмножестве множества определен оператор такой, что для любого существует единственное , удовлетворяющее включению ;

3) из того, что следует, что .

Тогда существуют , удовлетворяющие равенству .

Доказательство. Пусть – произвольное положительное число. Так как множество компактно, то существует конечная - сеть для этого множества, причем .

Рассмотрим функции и , определенные на множестве равенствами

,

.

Функции непрерывны и неотрицательны на , причем для каждого найдется хотя бы одно i, что , поэтому функции непрерывны на . Так как , то согласно условию 2) существует единственное , что . Обозначим . Непрерывное отображение определим равенством

поэтому из выпуклости множества следует, что .

Таким образом, при любом k непрерывное отображение переводит выпуклое компактное множество в себя, и поэтому по теореме Шаудера о неподвижной точке существует , что .

Из условия 2) получаем для каждого единственное , что . Из компактности множеств и следует существование последовательностей таких, что

.

В силу замкнутости множеств и получаем . Пусть произвольно, тогда существует такой номер N, что при любых выполняются неравенства

.

Рассмотрим те значения i, для которых и тогда при

.

Из условия 3) следует, что для любого существует такое, что как только , то . Обозначим и найдем номер N1 , что при всех и i, при которых , и, следовательно, .

Тогда из равенства

следует, что есть выпуклая комбинация тех , для которых , поэтому .

Переходя к пределу при и учитывая произвольность σ, получим, что . Теорема доказана.

ГЛАВА II. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ (1) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ, КОГДА МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРИ КРИТИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА ИМЕЕТ НУЛЕВЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

В данной главе на основании теоремы 1 при определенных условиях дается решение проблемы существования периодических решений системы (1) в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет нулевые собственные значения.

Пусть матрица имеет действительные собственные значения и с помощью неособого линейного преобразования матрица представима в виде

,

где - матрица.

Будем считать, что искомое преобразование уже выполнено и искомые функции, матрицу и нелинейные члены будем обозначать прежними буквами.

Теорема3. Пусть числа и таковы, что

1) на множестве D выполняется неравенство ;

2) матрица F, вектор-функции T, N удовлетворяют условию Н;

3) матрица имеет вид , где функции непрерывны по t и μ имеют непрерывные производные по t и μ в D;

4) , где , , ;

5) в системе (1) непрерывные функции векторного аргумента , определенные в , и такие, что , при , – непрерывно-дифференцируемые по μ функции, ;

6) матрица неособенная.

Тогда – бифуркационное значение параметра системы (1).

Доказательство. Пусть выполняются условия теоремы 1. Сведем задачу нахождения периодического решения системы (1) к нахождению периодического решения системы (2).

Матрица решений системы (2) представима в виде

, (4)

где – матрица решений системы , а матрица является решением дифференциального уравнения

, (5)

причем равномерно по t, μ при .

Пусть – множество всех вектор-функций и таких, что для любых , , где некоторое постоянное число, .

Множество выпуклое, замкнутое, компактное.

Пусть – произвольное число. Выберем и зафиксируем некоторую вектор-функцию . Подставим в матрицу системы (1), получим систему (2), решение которой определяется равенством (3).

Если вектор-функция, удовлетворяющая равенству (3), то она является решением системы (2).

Найдем условия, при которых вектор-функция , определяемая равенством (3), удовлетворяет условиям ,

, (6)

где – некоторый постоянный вектор.

Нас интересуют ω - периодические не тождественно равные нулю решения системы (1). Эти решения будут отличны от нуля при . Чтобы система уравнений (6) имела ненулевые относительно решения необходимо и достаточно, чтобы

. (7)

Из условия 5) теоремы следует существование числа и матрицы с отличным от нуля, независящим от ω, μ, φ определителем, таких, что для всех n–й столбец матрицы

(8)

имеет вид

Функции непрерывны и ограничены в D по переменной μ и имеют ограниченные частные производные по μ в D, причем при равномерно относительно ω, μ.

Выберем таким образом, чтобы для любой вектор-функции выполнялись неравенства

. (9)

Определитель матрицы (8) будет равен нулю, если выполняются следующие равенства

Учитывая условия 5) теоремы, имеем

Перепишем данную систему уравнений, используя условие 6) теоремы, получим

, где , .

Так как матрица В неособенная, имеем

. (10)

Рассмотрим оператор , который определим следующим образом

. (11)

Оператор является сжимающим в шаре . Докажем, что для любых , , принадлежащих шару , выполняется неравенство

,

где .

Для того чтобы показать, что выполняется данное неравенство, заметим

.

Рассмотрим

, (12)

.

Учитывая неравенство (12), получим

.

Выберем и так, чтобы для всех β1, удовлетворяющих условию и выполнялось неравенство

.

Следовательно, оператор является сжимающим в шаре .

Покажем, что оператор (11) преобразует некоторый шар в себя.

Действительно, пусть , рассмотрим . Очевидно

.

Выберем так, чтобы для любого β2 из будет выполняться неравенство

.

Таким образом, при и оператор преобразует шар в себя и является сжимающим.

Следовательно, в шаре существует единственная неподвижная точка μ* оператора (11), которая является решением системы уравнений (10).

Разрешив систему уравнений (10) относительно μ и подставив значение μ в систему

сведем эту систему уравнений к системе уравнений, n-й столбец матрицы которой состоит из одних нулей. Решением такой системы является вектор , первые (п-1)-координаты которого равны нулю, а п-я координата отлична от нуля.

Имеем

, . (13)

В силу произвольности вектор-функции получим, что для любой вектор-функции существует единственное , удовлетворяющее системе уравнений (10).

Выберем п-ю координату вектора таким образом, чтобы для любой вектор-функции выполнялось неравенство

.

Тогда равенство

(14)

определяет непрерывный оператор на множестве .

Из условий 1), 2), 4) теоремы следует существование такого , что для любой вектор-функции существует единственное такое, что выполняются следующие условия

, ,

.

Убедимся, что такой выбор числа возможен, для этого рассмотрим

.

Таким образом, имеем

.

Получили, что можно выбрать таким, чтобы было выполнено условие .

Следовательно, получили, что . Применяя теорему 2 получили, что существуют вектор-функция и вектор-параметр такие, что при любом

(16)

и выполняется равенство

. (17)

По теореме 1 является ω - периодическим решением системы (1). А это значит, что – бифуркационное значение параметра μ системы (1). Теорема доказана.

Заключение

В данной работе рассматривается система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, содержащих параметр. Решается задача определения условий существования периодических решений системы в окрестности нулевого решения. В работе дается определение бифуркационного значения параметра, доказывается общая теорема о существовании периодического решения, сводящая исследование проблемы существования периодического решения системы к исследованию проблемы существования неподвижной точки оператора, содержащего параметр. Получено достаточное условие существования периодических решений системы в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет нулевые собственные значения.

Список литературы

1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1970. – 332 с.

2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1964. – 272 с.

3. Степанов В.В.Курс дифференциальных уравнений. – М.: Гостехиздат, 1953. – 368 с.

4. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений: Учебное пособие к спецкурсу. – М.: Изд-во «Прометей» МГПИ им. В.И.Ленина, 1989. – 88 с.

5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1963. – 520 с.

6. Заикина Т.И. К вопросу о бифуркации системы дифференциальных уравнений в одном критическом случае. // Дифференциальные уравнения: сборник научных трудов. – Рязань, 1982. – с.47-57.

7. Заикина Т.И. О некоторых случаях зависимости решений системы дифференциальных уравнений от параметра. // Дифференциальные уравнения: сборник научных трудов. – Рязань, 1982. – с.47-57

8. Гантмахер Ф.Ф. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 575 с.

9. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1968. – 464 с.

10. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 с.

11. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука, 1970. – 572 с.