СтудСфера.Ру - помогаем студентам в учёбе

У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

Дифференциальные уравнения в биологии - Курсовая работа №36416

«Дифференциальные уравнения в биологии» - Курсовая работа

  • 40 страниц(ы)

Содержание

Введение

Выдержка из текста работы

Заключение

Список литературы

фото автора

Автор: navip

Содержание

1. Дифференциальные уравнения 4

1.1. Введение 4

1.2. Модель сезонного роста 6

1.3. Модель межвидовой конкуренции. 16

1.5. Метод вариации постоянных для дифференциальных уравнений второго порядка 22

1.4 Взаимодействие хищник – жертва 26

Глава 2. Математические модели в биологии 29

Построение моделей 29

Выживание и вымирание видов 31

Генетика и закон Харди — Вайнберга 36

Литература 39


Введение

1. Дифференциальные уравнения

1.1. Введение

Интересующие нас биологические переменные могут быть функциями таких переменных, как температура, обилие пищи, длина светового дня или частота заболеваний. Однако, мы ограничимся рассмотрением численности популяции некоторого вида в заданной среде как функции времени. Другие примеры приводятся в задачах к каждому параграфу.

Мы рассмотрим непрерывные модели, в которых биологическая переменная является непрерывной функцией времени. При описании биологических систем полезны оба этих подхода. Непрерывные модели больше подходят для описания роста очень больших популяций, таких, как, например, популяции бактерий. Напротив, популяции американского. журавля лучше описываются дискретными моделями, соответствующими ежедневным, ежемесячным или ежегодным переписям.

В непрерывных моделях представляет собой численность (размер) популяции некоторого вида в данной среде как функцию вре-мени. Исходной, или начальной, популяции соответствует , и развитие популяции во времени описывается функцией .

Пример 1.1.1. Функция соответствует не-прерывному росту популяции от начального размера до предельного размера . Если численность популяции регистрируется в моменты времени то ее значения в эти моменты равны ,. Кривая этого непрерывного роста изображена на рис. 1.1.

При изучении непрерывного роста популяций нам может быть известна информация о скорости роста Скорость роста может быть, например, нулевой, т. е. . В этом случае сохраняется постоянный размер популяции. Подобные соображения приводят к следующему определению.

Определение 1.1.1. Дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение для функции - это уравнение, содержащее производные по времени . Порядок дифференциального уравнения определяется как наивысший порядок производных, встречающихся в записи уравнения.

Пример 1.1.2. Ниже приведены дифференциальные уравнения:

1) - первого порядка;

2) - первого порядка;

3) - второго порядка;

4) - третьего порядка.

Пример 1.1.3. Популяция бактерий растет так, что скорость ее роста в момент (время выражается в часах) равна размеру популяции, по-деленному на 10. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Каков порядок этого уравнения?

Определим как размер популяции бактерий в момент времени . Тогда по условию скорость роста в момент равна , т. е. . Это дифференциальное уравнение первого порядка для

В последующих параграфах будут изложены методы решения не-которых важных типов дифференциальных уравнений. Если дано диф-ференциальное уравнение для , то можно ли найти все функции , удовлетворяющие этому уравнению? Соответствующая биологическая проблема формулируется так: «Если имеется, информация о начальной Популяции и скоростях роста популяции, то можно ли предсказать, каким будет ее размер во все последующие моменты времени?» Любая дифференцируемая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.


Выдержка из текста работы

1.2. Модель сезонного роста

Первое из рассматриваемых дифференциальных уравнений можно представлять себе как простую модель роста популяции. Если необходимые для популяции ресурсы имеются в изобилии, то естественно предположить, что скорость роста будет пропорциональна размеру популяции. Если соответствует популяции в момент времени , то такое предположение выражается дифференциальным уравнением

(1.1) 1.2. Модель сезонного роста

Первое из рассматриваемых дифференциальных уравнений можно представлять себе как простую модель роста популяции. Если необходимые для популяции ресурсы имеются в изобилии, то естественно предположить, что скорость роста будет пропорциональна размеру популяции. Если соответствует популяции в момент времени , то такое предположение выражается дифференциальным уравнением

(1.1)

где а — постоянная. Предположение, приводящее к этому уравнению, состоит в том, что скорость роста на единицу популяции (удельная ско-рость роста) постоянна, т. е.

Разностное уравнение можно получить, предполагая, что постоянным является прирост популяции в -й период времени, т. е.

Это дискретный вариант непрерывной модели.

Уравнение (1.1) можно решить двумя способами. Первый из них, опирающийся попросту на опыт дифференцирования, представляет, собой метод пробных решений. Известна ли нам функция, обладающая тем свойством, что ее производная равна самой функции, умноженной на постоянную ? Напомним, что такое свойство имеет экспоненциальная функция . Более общо: функция при любом значении постоянной с обладает нужным свойством:

В то время как метод пробных решений может показаться загадоч-ным, существует и более систематический способ отыскания решений уравнения (7.1). Это уравнение можно записать в виде

(1.2)

Но

где обозначает натуральный логарифм, или логарифм по основанию . Поэтому уравнение (1.2) эквивалентно уравнению

(1.3)

Интегрируя обе части уравнения (7.3) по переменной , получаем

(1.4)

где является постоянной интегрирования. Возведя в соответствующие степени экспоненту, находим . Определим постоянную c как Это дает общее решение уравнения (1.1) в виде

(1.5)

Называя его общим, мы подразумеваем, что любое решение уравнения (1.1) может быть записано в таком виде при соответствующем значении постоянной c. Заметим, что полученное этим методом общее решение совпадает c тем, которое было получено методом пробных решений.

Если размер популяции в некоторый момент времени известен, то постоянную c в решении можно определить единственным образом. Так как то откуда Решение принимает вид

(1.6)

Когда известна исходная популяция , имеем

(1.7)

Решение в момент полностью определяется значением численности в момент или . Решение (1.6) или (1.7) представляет собой формулу экспоненциального роста. Если , то популяция с течением времени возрастает; если а = 0, то она остается на постоянном уровне ; если а < 0, то популяция убывает со временем до нуля. Эти три случая показаны на рис. 1.2.

рис 7.2

Пример 1.2.1. Найти решение дифференциального уравнения dx/dt = 0,1x, удовлетворяющее начальному условию х (0) = 1000. Если х (t) обозначает размер популяций бактерий после I часов роста, то чему равен размер популяции спустя 10 ч?

Здесь . Общее решение имеет вид . Решением, удовлетворяющим заданному начальному условию, является . После 10 ч роста размер популяции становится равным

Уравнение служит примером линейного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение: называется линейным, если в членах, содержащих функцию и ее производные, они встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как ). В линейном уравнении отсутствуют такие члены, как, например, и т. п. Когда имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.

Пример 1.2.2. Следующие дифференциальные уравнения являются линейными:

1)

2)

3)

4)

Пример 1.2.3. Следующие дифференциальные уравнения являются нелинейными:

1)

2)

3)

4)

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого по-рядка таков:

(1.8)

Это уравнение называется однородным, если при всех . В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент постоянный, то (1.8) называют уравнением с постоянными коэф-фициентами. Уравнение (1.1) представляет собой частный случай уравнения (1.8) при и .

Прежде чем решать уравнение (1.8), отметим следующее свойство ли-нейных однородных уравнений, Пусть и – решения уравнения . Тогда также является решением при любых значениях постоянных и . Чтобы убедиться в этом, заметим, что

Это свойство линейных однородных уравнений (любого порядка) часто используют в качестве определения линейности.

Рассмотрим теперь однородное уравнение

(1.9)

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде

или

Интегрируя обе части, приходим к уравнению

(1.10)

где — постоянная интегрирования. Возводя в соответствующие сте-пени экспоненту, получаем

Eсли определить постоянную с как , то решение уравнения (1.9) можно записать в виде

(1.11)

Значение постоянной с можно найти, если известно начальное условие. Это показано на следующих примерах.

Пример 1.2.4. Найти общее решение дифференциального уравнения Какое решение удовлетворяет начальному условию

Здесь и

Общее решение (7.11) представляется в виде [так как для любой функции ]. Если х (0) = 10, то 10 = с/(1 + 0) и с = 10. Решение, удовлетворяющее заданному начальному усло-вию, есть х ( ) = 10/(1 + ). С увеличением популяция постепенно убывает до нуля.

Пример 1.2.5. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент (время выражается в часах) составляет величину . Допустим, что начальной популяции соот-ветствует х (0) = 1000. Какой будет популяция после 4 ч роста? после 12 ч?

Удельная скорость роста равна . Это однородное линейное уравнение первого порядка при . Интегрируя его, получаем

где — постоянная интегрирования. Переход к экспонентам дает

Полагая с= , приходим к решению

Поскольку х (0) = 1000, имеем 1000 = и искомое решение имеет вид

Размер популяции после 4 ч роста выражается величиной . Спустя 12 ч популяция вырастает до х (12) = 1000 = 5000. Общее решение можно проверить подстановкой его в исходное уравнение. Для этого решения имеем

что равно 1/(1 + .

Пример 1.2.6. Модель сезонного роста. Дифференциальное уравнение первого порядка положительная постоянная, можно рассматривать как простую модель сезонного роста. Скорость роста популяции становится попеременно то положительной, то отрицательной, и популяция то возрастает то убывает. Это может вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.

Чтобы решить уравнение, заметим, что здесь и

Общее решение записывается в виде . Полагая , получим т.е. размер популяции в момент есть . Максимальный размер популяции, равный , достигается при , ., когда . Минимальный размер, равный , достигается при ,., когда .

В этой модели размер популяции колеблется от , до с периодом в . Моменты времени . можно считать се-рединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов), а моменты … соответствуют серединам сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует 2 ед. времени. Это показано на рис. 1.3.

где а — постоянная. Предположение, приводящее к этому уравнению, состоит в том, что скорость роста на единицу популяции (удельная ско-рость роста) постоянна, т. е.

Разностное уравнение можно получить, предполагая, что постоянным является прирост популяции в -й период времени, т. е.

Это дискретный вариант непрерывной модели.

Уравнение (1.1) можно решить двумя способами. Первый из них, опирающийся попросту на опыт дифференцирования, представляет, собой метод пробных решений. Известна ли нам функция, обладающая тем свойством, что ее производная равна самой функции, умноженной на постоянную ? Напомним, что такое свойство имеет экспоненциальная функция . Более общо: функция при любом значении постоянной с обладает нужным свойством:

В то время как метод пробных решений может показаться загадоч-ным, существует и более систематический способ отыскания решений уравнения (7.1). Это уравнение можно записать в виде

(1.2)

Но

где обозначает натуральный логарифм, или логарифм по основанию . Поэтому уравнение (1.2) эквивалентно уравнению

(1.3)

Интегрируя обе части уравнения (7.3) по переменной , получаем

(1.4)

где является постоянной интегрирования. Возведя в соответствующие степени экспоненту, находим . Определим постоянную c как Это дает общее решение уравнения (1.1) в виде

(1.5)

Называя его общим, мы подразумеваем, что любое решение уравнения (1.1) может быть записано в таком виде при соответствующем значении постоянной c. Заметим, что полученное этим методом общее решение совпадает c тем, которое было получено методом пробных решений.

Если размер популяции в некоторый момент времени известен, то постоянную c в решении можно определить единственным образом. Так как то откуда Решение принимает вид

(1.6)

Когда известна исходная популяция , имеем

(1.7)

Решение в момент полностью определяется значением численности в момент или . Решение (1.6) или (1.7) представляет собой формулу экспоненциального роста. Если , то популяция с течением времени возрастает; если а = 0, то она остается на постоянном уровне ; если а < 0, то популяция убывает со временем до нуля. Эти три случая показаны на рис. 1.2.

рис 7.2

Пример 1.2.1. Найти решение дифференциального уравнения dx/dt = 0,1x, удовлетворяющее начальному условию х (0) = 1000. Если х (t) обозначает размер популяций бактерий после I часов роста, то чему равен размер популяции спустя 10 ч?

Здесь . Общее решение имеет вид . Решением, удовлетворяющим заданному начальному условию, является . После 10 ч роста размер популяции становится равным

Уравнение служит примером линейного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение: называется линейным, если в членах, содержащих функцию и ее производные, они встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как ). В линейном уравнении отсутствуют такие члены, как, например, и т. п. Когда имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.

Пример 1.2.2. Следующие дифференциальные уравнения являются линейными:

1)

2)

3)

4)

Пример 1.2.3. Следующие дифференциальные уравнения являются нелинейными:

1)

2)

3)

4)

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого по-рядка таков:

(1.8)

Это уравнение называется однородным, если при всех . В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент постоянный, то (1.8) называют уравнением с постоянными коэф-фициентами. Уравнение (1.1) представляет собой частный случай уравнения (1.8) при и .

Прежде чем решать уравнение (1.8), отметим следующее свойство ли-нейных однородных уравнений, Пусть и – решения уравнения . Тогда также является решением при любых значениях постоянных и . Чтобы убедиться в этом, заметим, что

Это свойство линейных однородных уравнений (любого порядка) часто используют в качестве определения линейности.

Рассмотрим теперь однородное уравнение

(1.9)

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде

или

Интегрируя обе части, приходим к уравнению

(1.10)

где — постоянная интегрирования. Возводя в соответствующие сте-пени экспоненту, получаем

Eсли определить постоянную с как , то решение уравнения (1.9) можно записать в виде

(1.11)

Значение постоянной с можно найти, если известно начальное условие. Это показано на следующих примерах.

Пример 1.2.4. Найти общее решение дифференциального уравнения Какое решение удовлетворяет начальному условию

Здесь и

Общее решение (7.11) представляется в виде [так как для любой функции ]. Если х (0) = 10, то 10 = с/(1 + 0) и с = 10. Решение, удовлетворяющее заданному начальному усло-вию, есть х ( ) = 10/(1 + ). С увеличением популяция постепенно убывает до нуля.

Пример 1.2.5. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент (время выражается в часах) составляет величину . Допустим, что начальной популяции соот-ветствует х (0) = 1000. Какой будет популяция после 4 ч роста? после 12 ч?

Удельная скорость роста равна . Это однородное линейное уравнение первого порядка при . Интегрируя его, получаем

где — постоянная интегрирования. Переход к экспонентам дает

Полагая с= , приходим к решению

Поскольку х (0) = 1000, имеем 1000 = и искомое решение имеет вид

Размер популяции после 4 ч роста выражается величиной . Спустя 12 ч популяция вырастает до х (12) = 1000 = 5000. Общее решение можно проверить подстановкой его в исходное уравнение. Для этого решения имеем

что равно 1/(1 + .

Пример 1.2.6. Модель сезонного роста. Дифференциальное уравнение первого порядка положительная постоянная, можно рассматривать как простую модель сезонного роста. Скорость роста популяции становится попеременно то положительной, то отрицательной, и популяция то возрастает то убывает. Это может вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.

Чтобы решить уравнение, заметим, что здесь и

Общее решение записывается в виде . Полагая , получим т.е. размер популяции в момент есть . Максимальный размер популяции, равный , достигается при , ., когда . Минимальный размер, равный , достигается при ,., когда .

В этой модели размер популяции колеблется от , до с периодом в . Моменты времени . можно считать се-рединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов), а моменты … соответствуют серединам сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует 2 ед. времени. Это показано на рис. 1.3.


Заключение

Начало современной теории наследования признаков относится к экспериментам Грегора Менделя с огородным горохом, результаты которых были опубликованы в 1865 г. Объясняя эти результаты, Мендель пришел к выводу о существовании общих законов, управляющих передачей признаков от родителей к потомству. Он, в частности, предположил, что наследственность является результатом передачи от родителей к детям неких частиц (называемых теперь генами). Действительная природа этих генов и механизмы, с помощью которых гены определяют признаки, и по сей день представляют собой одни из важнейших проблем биологической науки.

Каждый конкретный ген может встречаться в нескольких формах, или аллелях. Для простоты мы будем рассматривать ген лишь с двумя аллелями: и . Сгруппированные вместе в хромосомах, гены входят в каждую клетку организма. За исключением репродуктивных клеток, гены присутствуют в клетках парами, находясь в парных хромосомах. Три возможные пары такого гена — , и — определяют три возможных генотипа организма по отношению к данному гену. Генотипы и называются гомозиготными (или чистыми), а генотип называется гетерозиготным (или гибридным).

Репродуктивные клетки (спермин и яйцеклетки) имеют непарный на-бор хромосом и потому лишь один экземпляр каждого гена. Генотип потомка является результатом соединения генов двух репродуктивных клеток — по одному от каждого родителя. Когда оба родителя гомозиготны, генотип потомства детерминирован. Если, например, один родитель имеет генотип , а другой — генотип , то потомство должно иметь генотип . Если же один или оба родителя гетерозиготны, то генотип потомства детерминированным не является. Например, если гетерозиготны оба родителя, то потомство может иметь генотипы , и с вероятностями 1/4, 1/2 и 1/4 соответственно (при допущении одинаковой жизнеспособности генотипов потомства).

Многие признаки, как, например, альбинизм у человека, определяются единственным геном. Другие же, как масса или умственные способности, определяются совместным влиянием очень большого числа генов и часто очень сильно зависят от факторов внешней среды. Из двух аллелей некоторого гена аллель называют доминантным, если генотипы и фенотипически неотличимы один от другого. Тогда аллель называется рецессивным, если генотип внешне отличается от генотипов и . Серповидно-клеточная анемия у человека дает пример гена с доминантным и рецессивным аллелями. Индивидуум неизменно страдает от тяжелой анемии, ведущей к гибели в детском возрасте.

Если бы все особи популяции данного вида можно было классифици-ровать согласно генотипам , и , то мы смогли бы определить соотношение двух этих аллелей в популяции. Этого нельзя сделать, если генотипы и были неразличимы. Используем для обозначения частот трех генотипов в популяции буквы , и и допустим, что эти три частоты поддаются определению. Тогда частоты и двух аллелей и в популяции удовлетворяют уравнениям

, . (4)

Здесь мы воспользовались тем фактом, что множество аллеля включает в себя 100% аллелей генотипа (имеющего в популяции частоту ) и 50% аллелей генотипа (аналогично и для аллеля ). Заметим, что второе уравнение (4) вытекает также из первого уравнения, поскольку и . Если допустить, что среди самок и самцов генотипы встречаются в одинаковой пропорции, то и будут (в большой популяции) соответствовать вероятностям того, что ген представлен в форме соответственно аллеля или аллеля . Случай сцепленных с полом генов рассматривается в конце настоящего параграфа.

Пример. В некоторой популяции имеет место следующее распре-деление частот генотипов: , и . Каковы частоты аллелей и в этой популяции?

Здесь , и . Поэтому и . Это означает, что генная «популяция» на состоит из гена и на – из гена .

Часто бывает необходимо решать обратную задачу – отыскание частот генотипов, когда известны частоты аллелей в популяции. Решение этой задачи в общем случае не единственно. Система уравнений (4) сводится к одному уравнению о двумя неизвестными: . Чтобы получить второе независимое уравнение, мы сделаем допущение о случайном скрещивании. Это означает, что вероятность, с которой данный индивидуум скрещивается с другим индивидуумом, не зависит от генотипа последнего. Во многих случаях это оказывается хорошим приближением, но не всегда. Известно, например, что люди высокого роста стремятся вступить в брак с высокими людьми, так что рост человека таким путем анализировать нельзя. С другой стороны, установ-лено, что допущение о случайном скрещивании применимо к такому признаку человека, как группа крови. Большинство людей выбирают супруга, не заботясь о группе крови.


Список литературы

1. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика - М.: Высш. шк., 2005.— 160 с: ил.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969 576 с.

3. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М., Наука, 1969. -328 с.

4. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. -М., Наука, 1975. - 208 с.

5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М., Высш.шк., 2003.- 479 с.

6. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высш.шк., 2004.- 404 с.

7. Гроссман С., Тернер Д. Математика для биологов. - М., Высшая школа, 1983. - 383 с.

8. Козлов М.В. Элементы теории вероятности в примерах и задачах. - М., Изд. МГУ, 1990. - 344 c.

9. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М., Наука, 1971. - 322 с.

10. Новиков П.С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973, 400 с.


Тема: «Дифференциальные уравнения в биологии»
Раздел: Разное
Тип: Курсовая работа
Страниц: 40
Цена: 600 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы
Похожие материалы
  • Дипломная работа:

    Исследование одной системы дифференциальных уравнений

    20 страниц(ы) 

    Введение….….….…3
    Глава I. Существование бифуркационного значения параметра систем дифференциальных уравнений….4
    Глава II. Существование периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет действительные собственные значения….….9
    Заключение….….….….….….17
    Список использованной литературы.….….…18
  • ВКР:

    Методика применения компьютерного моделирования для решения дифференциальных уравнений и в школьном курсе информатики

    85 страниц(ы) 

    Введение 3
    1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
    1.1 Линейные дифференциальные уравнения 6
    1.2 Нелинейные дифференциальные уравнения 11
    1.3 Асимптотические оценки и их свойства 15
    1.4 Асимптотические ряды и их свойства 18
    1.5 Определение и основные свойства асимптотических разложений 22
    1.6 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений 24
    Выводы по первой главе 25
    2 Моделирование решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 26
    2.1 Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 26
    2.2 Нахождение численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 28
    Выводы по второй главе 31
    3 Методика применения компьютерное моделирование в школьном курсе информатики 32
    3.1 Основные понятия и принципы компьютерного моделирования 32
    3.2 Анализ элективных курсов по компьютерному моделированию в школе. 37
    3.3 Элективный курс по компьютерному математическому моделированию в Maple 40
    Выводы по третьей главе 55
    Заключение 57
    Список использованной литературы 59
    Приложения 62
  • Дипломная работа:

    Методика исследования асимптотических разложений решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

    50 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава 1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ 5
    1.1. Дифференциальное уравнение второго порядка 5
    1.2. Определения и свойства асимптотических рядов 8
    1.3. Преобразование Лиувилля. 13
    1.4. Асимптотика решения дифференциального уравнения второго порядка. 17
    Глава 2.НАХОЖДЕНИЕ ФОРМАЛЬНОГО АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 26
    2.1. Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения 26
    Заключение 23
    Приложение 1 23
    Приложение 2 43
    Приложение 3 44
    Литература 45
  • Дипломная работа:

    Методика исследования асимптотических решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

    45 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава I. Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
    1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 6
    1.2. Преобразование Лиувилля 9
    1.3. Определение асимптотического ряда 14
    1.4. Свойства асимптотических рядов 15
    1.5. Классификация особых точек; свойства решений в окрестности регулярной особой точки 21
    Глава II. Нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 25
    2.1. Постановка задачи. Нахождение формального асимптотического разложения решения 25
    2.2. Численные решения 32
    Заключение 34
    Список использованной литературы 35
    Приложения 37
    Приложение 1. Программа на языке Delphi 37
    Приложение 2. Результаты вычислений 41
  • Дипломная работа:

    Нахождение линейных законов сохранения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом компьютерной алгебры

    28 страниц(ы) 

    Введение 2
    Глава 1 Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4
    Глава 2 Базис Гребнера 12
    2.1 Общие понятия базисов Гребнера 12
    2.2 Решение системы полиномов 14
    2.3 Алгоритмические построения базисов Гребнера 16
    2.4 Улучшенная версия алгоритма 17
    Глава 3 Нахождение линейных первых интегралов с помощью матричных преобразований. 21
    Заключение 25
    Литература 26

Не нашли, что искали?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня

Другие работы автора
  • Дипломная работа:

    Проектная деятельность в работе с детьми младшего дошкольного возраста по обогащению словаря

    67 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ
    ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБОГАЩЕНИЯ СЛОВАРЯ ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА В ПСИХОЛОГ-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ
    1.1. Проблема обогащения словаря детей младшего дошкольного возраста
    1.2 Проектная деятельность в работе с детьми младшего дошкольного возраста
    1.3. Педагогические условия по обогащению словаря детей младшего дошкольного возраста через проектную деятельность
    Выводы по главе I
    ГЛАВА II. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ОБОГАЩЕНИЮ СЛОВАРЯ ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА ЧЕРЕЗ ПРОЕКТНУЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
    2.1. Выявление уровня обогащения словаря детей младшего дошкольного возраста на констатирующем этапе исследования
    2.2. Разработка и реализация комплекса мероприятий по обогащению словаря детей младшего дошкольного возраста через проектную деятельность на формирующем этапе исследования
    2.3. Анализ результатов исследования по обогащению словаря детей младшего дошкольного возраста через проектную деятельность на констатирующем этапе исследования
    Выводы по главе II
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    ЛИТЕРАТУРА
  • Дипломная работа:

    Изучение видового разнообразия водорослей и цианобактерий подводной пещеры сакаска (кугарчинский район рб)

    74 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 2
    ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПЕЩЕР КАК УНИКАЛЬНЫХ ЭКОСИСТЕМ 6
    1.1. Абиотические условия пещерных экосистем 6
    1.1.1. Климат пещер 6
    1.1.2. Атмосферное давление 7
    1.1.3. Температура и влажность воздуха 7
    1.1.4. Интенсивность воздухообмена 8
    1.2. Классификации экосистем пещер 9
    1.2.1. Особенности гетеротрофных экосистем пещер 10
    1.2.1.1. Пути заноса органического вещества в гетеротрофные экосистемы пещер 11
    1.2.1.2. Пищевые цепи гетеротрофных пещерных экосистем 18
    1.2.2. Особенности фотоавтотрофных экосистем пещер 200
    1.2.3. Особенности хемоавтотрофных экосистем пещер 222
    1.2.4. Амфитрофные экосистемы пещер 255
    1.3. Цианобактерии и водоросли в экосистемах пещер 277
    ГЛАВА 2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 30
    2.1. Характеристика Кугарчинского района, как объекта исследования 30
    2.1.1. Климат 31
    2.1.2. Рельеф 322
    2.1.3. Гидрология 333
    2.1.4. Почвенный покров 355
    2.1.5. Растительность 355
    2.2. Характеристика пещеры Сакаска 377
    2.3. Методика отбора проб и посев культур 377
    2.4. Методика выделения альгологически чистых культур 388
    2.5. Получение жидких накопительных культур 388
    2.6. Идентификация видовой принадлежности водорослей и цианобактерий399
    2.7. Методика исследования влияния рН среды на рост и развитие штамма Coelastrella corcontica (T.Kalina & M.Puncocharova) E.Hegewald & N.Hanagata399
    ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ 41
    3.1. Характеристика цианобактериально-водорослевого ценоза пещеры Сакаска 41
    3.2. Влияние рН среды на рост и развитие штамма Coelastrella corcontica (T.Kalina & M.Puncocharova) E.Hegewald & N.Hanagata 56
    ВЫВОДЫ 62
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 64
  • Дипломная работа:

    Геоэкологическая оценка нефтедобывающего комплекса республики башкортостан

    84 страниц(ы) 

    Введение
    Глава 1. Физико-географическая характеристика Республики Башкортостан
    1.1. Географическое положение
    1.2. Геологическое строение и тектоника
    1.3. Рельеф
    1.4. Климат
    1.5. Подземные воды
    1.6. Почва
    1.7. Растительный мир
    1.8. Животный мир
    Глава 2. Основные виды хозяйственной деятельности на территории
    Республики Башкортостан:
    2.1 Экономико-географическая характеристика
    2.2 Нефтегазодобывающий комплекс
    2.3 Трубопроводный транспорт
    2.4 Энергетический комплекс
    2.5 Транспортно-дорожный комплекс
    2.6 Агропромышленный комплекс
    Глава 3. Воздействие техногенных факторов
    на природные комплексы
    3.1 Масштабы загрязнения атмосферного воздуха
    3.2 Влияние техногенной нагрузки на поверхностные воды и подземные воды
    3.3 Техногенное влияние на почвенный покров
    3.4 Влияние техногенной нагрузки на растительной покров
    3.5 Влияние техногенной нагрузки на условия обитания животного мира
    Глава 4. Геоэкологическое районирование как основа охраны природной среды и рационального природопользования:
    4.1 Геоэкологическое районирование Республики Башкортостан по степени экологической нагрузки
    4.2 Рекомендации по оптимизации потенциала устойчивости природных экосистем
    Заключение
    Литература
  • Дипломная работа:

    Особенности перевода рекламных слоганов

    50 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава I. Теоретические предпосылки к осмыслению понятий «реклама», «рекламный слоган», «переводческие трансформации» 6
    1.1 Краткая история рекламы 6
    1.2 Определение понятия «реклама» и ее функции 8
    1.3 Слоган в структуре рекламного текста 13
    1.4 Функциональные стили в формировании рекламных слоганов 17
    1.5 Виды переводческих трансформаций 22
    Выводы по главе I 29
    Глава II. Анализ применения переводческих трансформаций при адаптации рекламных слоганов 30
    2.1 Анализ слоганов автомобильной тематики на базе классификации В.Н. Комисарова 30
    2.2 Использование переводческих трансформаций при переводе рекламных слоганов автомобилей 31
    Выводы по главе II 46
    Заключение 47
    Список литературы 49
  • Дипломная работа:

    Право мигрантов на получение профессионального образования в российской федерации: особенности и перспективы

    96 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. ЗАКОНОДАТЕЛЬНОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ ПРАВ И СВОБОД ИНОСТРАННЫХ СТУДЕНТОВ, ПОСТУПИВШИХ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ОРГАНИЗАЦИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 9
    1.1. Основы правового положения иностранцев, обучающихся в России 9
    1.2. Механизмы реализации конституционных, административных, гражданских и трудовых прав и обязанностей иностранных студентов в России 13
    ГЛАВА 2. ОРГАНИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННЫХ СТУДЕНТОВ В РФ 27
    2.1. Адаптационный период студентов-иностранцев при получении профессионального образования 27
    2.2. Реализация прав мигрантов на профессиональное образование 32
    2.3. Исследование основных проблем иностранных студентов при получении образования 49
    ГЛАВА 3. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ В ПОМОЩЬ ИНОСТРАННЫМ ГРАЖДАНАМ, ПОСТУПАЮЩИМ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ОРГАНИЗАЦИИ РФ 54
    3.1. Пояснительная записка 54
    3.2. Методическое пособие в помощь иностранным гражданам, поступающим в образовательные организации РФ 56
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 78
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 82
    ПРИЛОЖЕНИЯ 87
  • Дипломная работа:

    Проблема перевода текстов спортивной терминологии с английского языка на русский язык

    95 страниц(ы) 

    Введение….….….….3
    Глава I. Перевод, переводческие решения и проблемы перевода
    Особенности спортивных терминосистем.….7
    1.1 Общие проблемы перевода….…7
    1.2. Переводческие трансформации и их классификации….14
    1.3. Спортивная лексика разных языков с точки зрения ее употребления.
    Понятие «термин»…38
    1.3.1. Особенности спортивных терминосистем…42
    Выводы по I главе.….….45
    Глава II. Анализ переводческих решений….47
    2.1 Перевод статей по хоккейной тематике….47
    2.2. Переводческий анализ методов перевода…84
    Выводы по II главе….91
    Заключение….….….93
    Библиографический список….…94
  • Дипломная работа:

    Детский вокальный ансамбль как средство нравственно-эстетического воспитания младших школьников

    66 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ…3
    ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НРАВСТВЕННО-ЭСТЕТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ СРЕДСТВАМИ МУЗЫКАЛЬНОГО ИСКУССТВА…9
    1.1 Сущность понятий «эстетика», «нравственность», «нравственно-эстетическое воспитание»….9
    1.2 Психолого-педагогические особенности младших школьников….16
    1.3 Обзор и анализ деятельности детских вокальных ансамблей в России.21
    Выводы по I главе….31
    ГЛАВА II. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ НРАВСТВЕННО-ЭСТЕТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ СРЕДСТВАМИ ДЕТСКОГО ВОКАЛЬНОГО АНСАМБЛЯ….….33
    2.1 Диагностика состояния нравственно-эстетической воспитанности в детском вокальном ансамбле….33
    2.2 Организация и результаты опытно-экспериментальной работы по нравственно-эстетическому воспитанию в детском вокальном ансамбле….42
    2.3 Методические рекомендации по совершенствованию нравственно-эстетического воспитания через детский вокальный ансамбль для начинающих руководителей творческих коллективов….50
    Выводы по I I главе….57
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ….59
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ….….61
  • ВКР:

    Изучение способов выражения оценки личностных характеристик в английской фразеологии на уроках иностранного языка

    67 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава 1. Теоретическая основа исследования 6
    1.1 Понятие фразеологической единицы 6
    1.2 Проблема классификации фразеологических единиц 10
    1.3 Понятие категории оценки, ее виды и структура 18
    Выводы по главе 1 20
    Глава 2. Оценка личностных характеристик в английской фразеологии 21
    2.1 Индивидуальные характеристики личности 21
    2.2 Фразеологизмы с компонентом “умственные способности” 27
    Выводы по главе 2 36
    Глава 3. Изучение способов выражения оценки личностных характеристик в английской фразеологии на уроках АЯ 38
    3.1 Приемы работы с фразеологическим материалом на уроках ИЯ 38
    3.2 Изучение ФЕ, выражающих личностные характеристики, на уроках АЯ 40
    Выводы по главе 3 48
    Заключение 49
    Список использованной литературы 51
    Приложение 55
  • Дипломная работа:

    Этнонимы в памятниках древнетюркской рунической письменности

    63 страниц(ы) 

    Кереш.
    Төп өлеш
    Беренче бүлек.
    Лексикологиянең бер тармагы буларак этнонимия.
    § 1. Этнонимия турында гомум мәгълүмат.
    § 2. Төп төрки этнонимнарга характеристика.
    Икенче бүлек.
    Орхон-енисей язмаларында кулланылган этнонимнар.
    Өченче бүлек.
    Борынгы төрки язма истәлекләрне урта мәктәптә
    туган тел укытуда файдалану мөмкинлеге һәм
    татар теле дәресләрендә куллану өчен күнегү үрнәкләре.
    § 1. Борынгы төрки язма истәлекләрне урта мәктәптә
    туган тел укытуда файдалану мөмкинлеге.
    § 2. Борынгы төрки язма истәлекләр буенча материалны
    мәктәптә татар теле дәресләрендә куллану өчен
    күнегү үрнәкләре.
    Йомгак.
  • Дипломная работа:

    Методика изучения аналитических функций над алгебрами размерности n≤3

    35 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБР 4
    1.1. Некоторые сведения из теории алгебр 4
    1.2. Свойства простых алгебр R(i),R(e),R(ε) 9
    Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 17
    2.1. Аналитические функции над алгеброй дуальных чисел. 17
    2.2. Аналитические функции над алгеброй комплексных чисел. 20
    2.3. Аналитические функции над алгеброй двойных чисел 24
    2.4. Аналитические функции нал алгеброй плюральных чисел третьего порядка 27
    Заключение 31
    Литература 32