СтудСфера.Ру - помогаем студентам в учёбе

У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

Дифференциальные уравнения в биологии - Курсовая работа №36416

«Дифференциальные уравнения в биологии» - Курсовая работа

  • 40 страниц(ы)

Содержание

Введение

Выдержка из текста работы

Заключение

Список литературы

фото автора

Автор: navip

Содержание

1. Дифференциальные уравнения 4

1.1. Введение 4

1.2. Модель сезонного роста 6

1.3. Модель межвидовой конкуренции. 16

1.5. Метод вариации постоянных для дифференциальных уравнений второго порядка 22

1.4 Взаимодействие хищник – жертва 26

Глава 2. Математические модели в биологии 29

Построение моделей 29

Выживание и вымирание видов 31

Генетика и закон Харди — Вайнберга 36

Литература 39


Введение

1. Дифференциальные уравнения

1.1. Введение

Интересующие нас биологические переменные могут быть функциями таких переменных, как температура, обилие пищи, длина светового дня или частота заболеваний. Однако, мы ограничимся рассмотрением численности популяции некоторого вида в заданной среде как функции времени. Другие примеры приводятся в задачах к каждому параграфу.

Мы рассмотрим непрерывные модели, в которых биологическая переменная является непрерывной функцией времени. При описании биологических систем полезны оба этих подхода. Непрерывные модели больше подходят для описания роста очень больших популяций, таких, как, например, популяции бактерий. Напротив, популяции американского. журавля лучше описываются дискретными моделями, соответствующими ежедневным, ежемесячным или ежегодным переписям.

В непрерывных моделях представляет собой численность (размер) популяции некоторого вида в данной среде как функцию вре-мени. Исходной, или начальной, популяции соответствует , и развитие популяции во времени описывается функцией .

Пример 1.1.1. Функция соответствует не-прерывному росту популяции от начального размера до предельного размера . Если численность популяции регистрируется в моменты времени то ее значения в эти моменты равны ,. Кривая этого непрерывного роста изображена на рис. 1.1.

При изучении непрерывного роста популяций нам может быть известна информация о скорости роста Скорость роста может быть, например, нулевой, т. е. . В этом случае сохраняется постоянный размер популяции. Подобные соображения приводят к следующему определению.

Определение 1.1.1. Дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение для функции - это уравнение, содержащее производные по времени . Порядок дифференциального уравнения определяется как наивысший порядок производных, встречающихся в записи уравнения.

Пример 1.1.2. Ниже приведены дифференциальные уравнения:

1) - первого порядка;

2) - первого порядка;

3) - второго порядка;

4) - третьего порядка.

Пример 1.1.3. Популяция бактерий растет так, что скорость ее роста в момент (время выражается в часах) равна размеру популяции, по-деленному на 10. Описать этот процесс роста дифференциальным уравнением. Каков порядок этого уравнения?

Определим как размер популяции бактерий в момент времени . Тогда по условию скорость роста в момент равна , т. е. . Это дифференциальное уравнение первого порядка для

В последующих параграфах будут изложены методы решения не-которых важных типов дифференциальных уравнений. Если дано диф-ференциальное уравнение для , то можно ли найти все функции , удовлетворяющие этому уравнению? Соответствующая биологическая проблема формулируется так: «Если имеется, информация о начальной Популяции и скоростях роста популяции, то можно ли предсказать, каким будет ее размер во все последующие моменты времени?» Любая дифференцируемая функция, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.


Выдержка из текста работы

1.2. Модель сезонного роста

Первое из рассматриваемых дифференциальных уравнений можно представлять себе как простую модель роста популяции. Если необходимые для популяции ресурсы имеются в изобилии, то естественно предположить, что скорость роста будет пропорциональна размеру популяции. Если соответствует популяции в момент времени , то такое предположение выражается дифференциальным уравнением

(1.1) 1.2. Модель сезонного роста

Первое из рассматриваемых дифференциальных уравнений можно представлять себе как простую модель роста популяции. Если необходимые для популяции ресурсы имеются в изобилии, то естественно предположить, что скорость роста будет пропорциональна размеру популяции. Если соответствует популяции в момент времени , то такое предположение выражается дифференциальным уравнением

(1.1)

где а — постоянная. Предположение, приводящее к этому уравнению, состоит в том, что скорость роста на единицу популяции (удельная ско-рость роста) постоянна, т. е.

Разностное уравнение можно получить, предполагая, что постоянным является прирост популяции в -й период времени, т. е.

Это дискретный вариант непрерывной модели.

Уравнение (1.1) можно решить двумя способами. Первый из них, опирающийся попросту на опыт дифференцирования, представляет, собой метод пробных решений. Известна ли нам функция, обладающая тем свойством, что ее производная равна самой функции, умноженной на постоянную ? Напомним, что такое свойство имеет экспоненциальная функция . Более общо: функция при любом значении постоянной с обладает нужным свойством:

В то время как метод пробных решений может показаться загадоч-ным, существует и более систематический способ отыскания решений уравнения (7.1). Это уравнение можно записать в виде

(1.2)

Но

где обозначает натуральный логарифм, или логарифм по основанию . Поэтому уравнение (1.2) эквивалентно уравнению

(1.3)

Интегрируя обе части уравнения (7.3) по переменной , получаем

(1.4)

где является постоянной интегрирования. Возведя в соответствующие степени экспоненту, находим . Определим постоянную c как Это дает общее решение уравнения (1.1) в виде

(1.5)

Называя его общим, мы подразумеваем, что любое решение уравнения (1.1) может быть записано в таком виде при соответствующем значении постоянной c. Заметим, что полученное этим методом общее решение совпадает c тем, которое было получено методом пробных решений.

Если размер популяции в некоторый момент времени известен, то постоянную c в решении можно определить единственным образом. Так как то откуда Решение принимает вид

(1.6)

Когда известна исходная популяция , имеем

(1.7)

Решение в момент полностью определяется значением численности в момент или . Решение (1.6) или (1.7) представляет собой формулу экспоненциального роста. Если , то популяция с течением времени возрастает; если а = 0, то она остается на постоянном уровне ; если а < 0, то популяция убывает со временем до нуля. Эти три случая показаны на рис. 1.2.

рис 7.2

Пример 1.2.1. Найти решение дифференциального уравнения dx/dt = 0,1x, удовлетворяющее начальному условию х (0) = 1000. Если х (t) обозначает размер популяций бактерий после I часов роста, то чему равен размер популяции спустя 10 ч?

Здесь . Общее решение имеет вид . Решением, удовлетворяющим заданному начальному условию, является . После 10 ч роста размер популяции становится равным

Уравнение служит примером линейного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение: называется линейным, если в членах, содержащих функцию и ее производные, они встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как ). В линейном уравнении отсутствуют такие члены, как, например, и т. п. Когда имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.

Пример 1.2.2. Следующие дифференциальные уравнения являются линейными:

1)

2)

3)

4)

Пример 1.2.3. Следующие дифференциальные уравнения являются нелинейными:

1)

2)

3)

4)

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого по-рядка таков:

(1.8)

Это уравнение называется однородным, если при всех . В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент постоянный, то (1.8) называют уравнением с постоянными коэф-фициентами. Уравнение (1.1) представляет собой частный случай уравнения (1.8) при и .

Прежде чем решать уравнение (1.8), отметим следующее свойство ли-нейных однородных уравнений, Пусть и – решения уравнения . Тогда также является решением при любых значениях постоянных и . Чтобы убедиться в этом, заметим, что

Это свойство линейных однородных уравнений (любого порядка) часто используют в качестве определения линейности.

Рассмотрим теперь однородное уравнение

(1.9)

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде

или

Интегрируя обе части, приходим к уравнению

(1.10)

где — постоянная интегрирования. Возводя в соответствующие сте-пени экспоненту, получаем

Eсли определить постоянную с как , то решение уравнения (1.9) можно записать в виде

(1.11)

Значение постоянной с можно найти, если известно начальное условие. Это показано на следующих примерах.

Пример 1.2.4. Найти общее решение дифференциального уравнения Какое решение удовлетворяет начальному условию

Здесь и

Общее решение (7.11) представляется в виде [так как для любой функции ]. Если х (0) = 10, то 10 = с/(1 + 0) и с = 10. Решение, удовлетворяющее заданному начальному усло-вию, есть х ( ) = 10/(1 + ). С увеличением популяция постепенно убывает до нуля.

Пример 1.2.5. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент (время выражается в часах) составляет величину . Допустим, что начальной популяции соот-ветствует х (0) = 1000. Какой будет популяция после 4 ч роста? после 12 ч?

Удельная скорость роста равна . Это однородное линейное уравнение первого порядка при . Интегрируя его, получаем

где — постоянная интегрирования. Переход к экспонентам дает

Полагая с= , приходим к решению

Поскольку х (0) = 1000, имеем 1000 = и искомое решение имеет вид

Размер популяции после 4 ч роста выражается величиной . Спустя 12 ч популяция вырастает до х (12) = 1000 = 5000. Общее решение можно проверить подстановкой его в исходное уравнение. Для этого решения имеем

что равно 1/(1 + .

Пример 1.2.6. Модель сезонного роста. Дифференциальное уравнение первого порядка положительная постоянная, можно рассматривать как простую модель сезонного роста. Скорость роста популяции становится попеременно то положительной, то отрицательной, и популяция то возрастает то убывает. Это может вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.

Чтобы решить уравнение, заметим, что здесь и

Общее решение записывается в виде . Полагая , получим т.е. размер популяции в момент есть . Максимальный размер популяции, равный , достигается при , ., когда . Минимальный размер, равный , достигается при ,., когда .

В этой модели размер популяции колеблется от , до с периодом в . Моменты времени . можно считать се-рединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов), а моменты … соответствуют серединам сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует 2 ед. времени. Это показано на рис. 1.3.

где а — постоянная. Предположение, приводящее к этому уравнению, состоит в том, что скорость роста на единицу популяции (удельная ско-рость роста) постоянна, т. е.

Разностное уравнение можно получить, предполагая, что постоянным является прирост популяции в -й период времени, т. е.

Это дискретный вариант непрерывной модели.

Уравнение (1.1) можно решить двумя способами. Первый из них, опирающийся попросту на опыт дифференцирования, представляет, собой метод пробных решений. Известна ли нам функция, обладающая тем свойством, что ее производная равна самой функции, умноженной на постоянную ? Напомним, что такое свойство имеет экспоненциальная функция . Более общо: функция при любом значении постоянной с обладает нужным свойством:

В то время как метод пробных решений может показаться загадоч-ным, существует и более систематический способ отыскания решений уравнения (7.1). Это уравнение можно записать в виде

(1.2)

Но

где обозначает натуральный логарифм, или логарифм по основанию . Поэтому уравнение (1.2) эквивалентно уравнению

(1.3)

Интегрируя обе части уравнения (7.3) по переменной , получаем

(1.4)

где является постоянной интегрирования. Возведя в соответствующие степени экспоненту, находим . Определим постоянную c как Это дает общее решение уравнения (1.1) в виде

(1.5)

Называя его общим, мы подразумеваем, что любое решение уравнения (1.1) может быть записано в таком виде при соответствующем значении постоянной c. Заметим, что полученное этим методом общее решение совпадает c тем, которое было получено методом пробных решений.

Если размер популяции в некоторый момент времени известен, то постоянную c в решении можно определить единственным образом. Так как то откуда Решение принимает вид

(1.6)

Когда известна исходная популяция , имеем

(1.7)

Решение в момент полностью определяется значением численности в момент или . Решение (1.6) или (1.7) представляет собой формулу экспоненциального роста. Если , то популяция с течением времени возрастает; если а = 0, то она остается на постоянном уровне ; если а < 0, то популяция убывает со временем до нуля. Эти три случая показаны на рис. 1.2.

рис 7.2

Пример 1.2.1. Найти решение дифференциального уравнения dx/dt = 0,1x, удовлетворяющее начальному условию х (0) = 1000. Если х (t) обозначает размер популяций бактерий после I часов роста, то чему равен размер популяции спустя 10 ч?

Здесь . Общее решение имеет вид . Решением, удовлетворяющим заданному начальному условию, является . После 10 ч роста размер популяции становится равным

Уравнение служит примером линейного дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение: называется линейным, если в членах, содержащих функцию и ее производные, они встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение функции на ее производную (таких, как ). В линейном уравнении отсутствуют такие члены, как, например, и т. п. Когда имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.

Пример 1.2.2. Следующие дифференциальные уравнения являются линейными:

1)

2)

3)

4)

Пример 1.2.3. Следующие дифференциальные уравнения являются нелинейными:

1)

2)

3)

4)

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого по-рядка таков:

(1.8)

Это уравнение называется однородным, если при всех . В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент постоянный, то (1.8) называют уравнением с постоянными коэф-фициентами. Уравнение (1.1) представляет собой частный случай уравнения (1.8) при и .

Прежде чем решать уравнение (1.8), отметим следующее свойство ли-нейных однородных уравнений, Пусть и – решения уравнения . Тогда также является решением при любых значениях постоянных и . Чтобы убедиться в этом, заметим, что

Это свойство линейных однородных уравнений (любого порядка) часто используют в качестве определения линейности.

Рассмотрим теперь однородное уравнение

(1.9)

Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде

или

Интегрируя обе части, приходим к уравнению

(1.10)

где — постоянная интегрирования. Возводя в соответствующие сте-пени экспоненту, получаем

Eсли определить постоянную с как , то решение уравнения (1.9) можно записать в виде

(1.11)

Значение постоянной с можно найти, если известно начальное условие. Это показано на следующих примерах.

Пример 1.2.4. Найти общее решение дифференциального уравнения Какое решение удовлетворяет начальному условию

Здесь и

Общее решение (7.11) представляется в виде [так как для любой функции ]. Если х (0) = 10, то 10 = с/(1 + 0) и с = 10. Решение, удовлетворяющее заданному начальному усло-вию, есть х ( ) = 10/(1 + ). С увеличением популяция постепенно убывает до нуля.

Пример 1.2.5. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что удельная скорость роста в момент (время выражается в часах) составляет величину . Допустим, что начальной популяции соот-ветствует х (0) = 1000. Какой будет популяция после 4 ч роста? после 12 ч?

Удельная скорость роста равна . Это однородное линейное уравнение первого порядка при . Интегрируя его, получаем

где — постоянная интегрирования. Переход к экспонентам дает

Полагая с= , приходим к решению

Поскольку х (0) = 1000, имеем 1000 = и искомое решение имеет вид

Размер популяции после 4 ч роста выражается величиной . Спустя 12 ч популяция вырастает до х (12) = 1000 = 5000. Общее решение можно проверить подстановкой его в исходное уравнение. Для этого решения имеем

что равно 1/(1 + .

Пример 1.2.6. Модель сезонного роста. Дифференциальное уравнение первого порядка положительная постоянная, можно рассматривать как простую модель сезонного роста. Скорость роста популяции становится попеременно то положительной, то отрицательной, и популяция то возрастает то убывает. Это может вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.

Чтобы решить уравнение, заметим, что здесь и

Общее решение записывается в виде . Полагая , получим т.е. размер популяции в момент есть . Максимальный размер популяции, равный , достигается при , ., когда . Минимальный размер, равный , достигается при ,., когда .

В этой модели размер популяции колеблется от , до с периодом в . Моменты времени . можно считать се-рединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов), а моменты … соответствуют серединам сезонов наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одного года соответствует 2 ед. времени. Это показано на рис. 1.3.


Заключение

Начало современной теории наследования признаков относится к экспериментам Грегора Менделя с огородным горохом, результаты которых были опубликованы в 1865 г. Объясняя эти результаты, Мендель пришел к выводу о существовании общих законов, управляющих передачей признаков от родителей к потомству. Он, в частности, предположил, что наследственность является результатом передачи от родителей к детям неких частиц (называемых теперь генами). Действительная природа этих генов и механизмы, с помощью которых гены определяют признаки, и по сей день представляют собой одни из важнейших проблем биологической науки.

Каждый конкретный ген может встречаться в нескольких формах, или аллелях. Для простоты мы будем рассматривать ген лишь с двумя аллелями: и . Сгруппированные вместе в хромосомах, гены входят в каждую клетку организма. За исключением репродуктивных клеток, гены присутствуют в клетках парами, находясь в парных хромосомах. Три возможные пары такого гена — , и — определяют три возможных генотипа организма по отношению к данному гену. Генотипы и называются гомозиготными (или чистыми), а генотип называется гетерозиготным (или гибридным).

Репродуктивные клетки (спермин и яйцеклетки) имеют непарный на-бор хромосом и потому лишь один экземпляр каждого гена. Генотип потомка является результатом соединения генов двух репродуктивных клеток — по одному от каждого родителя. Когда оба родителя гомозиготны, генотип потомства детерминирован. Если, например, один родитель имеет генотип , а другой — генотип , то потомство должно иметь генотип . Если же один или оба родителя гетерозиготны, то генотип потомства детерминированным не является. Например, если гетерозиготны оба родителя, то потомство может иметь генотипы , и с вероятностями 1/4, 1/2 и 1/4 соответственно (при допущении одинаковой жизнеспособности генотипов потомства).

Многие признаки, как, например, альбинизм у человека, определяются единственным геном. Другие же, как масса или умственные способности, определяются совместным влиянием очень большого числа генов и часто очень сильно зависят от факторов внешней среды. Из двух аллелей некоторого гена аллель называют доминантным, если генотипы и фенотипически неотличимы один от другого. Тогда аллель называется рецессивным, если генотип внешне отличается от генотипов и . Серповидно-клеточная анемия у человека дает пример гена с доминантным и рецессивным аллелями. Индивидуум неизменно страдает от тяжелой анемии, ведущей к гибели в детском возрасте.

Если бы все особи популяции данного вида можно было классифици-ровать согласно генотипам , и , то мы смогли бы определить соотношение двух этих аллелей в популяции. Этого нельзя сделать, если генотипы и были неразличимы. Используем для обозначения частот трех генотипов в популяции буквы , и и допустим, что эти три частоты поддаются определению. Тогда частоты и двух аллелей и в популяции удовлетворяют уравнениям

, . (4)

Здесь мы воспользовались тем фактом, что множество аллеля включает в себя 100% аллелей генотипа (имеющего в популяции частоту ) и 50% аллелей генотипа (аналогично и для аллеля ). Заметим, что второе уравнение (4) вытекает также из первого уравнения, поскольку и . Если допустить, что среди самок и самцов генотипы встречаются в одинаковой пропорции, то и будут (в большой популяции) соответствовать вероятностям того, что ген представлен в форме соответственно аллеля или аллеля . Случай сцепленных с полом генов рассматривается в конце настоящего параграфа.

Пример. В некоторой популяции имеет место следующее распре-деление частот генотипов: , и . Каковы частоты аллелей и в этой популяции?

Здесь , и . Поэтому и . Это означает, что генная «популяция» на состоит из гена и на – из гена .

Часто бывает необходимо решать обратную задачу – отыскание частот генотипов, когда известны частоты аллелей в популяции. Решение этой задачи в общем случае не единственно. Система уравнений (4) сводится к одному уравнению о двумя неизвестными: . Чтобы получить второе независимое уравнение, мы сделаем допущение о случайном скрещивании. Это означает, что вероятность, с которой данный индивидуум скрещивается с другим индивидуумом, не зависит от генотипа последнего. Во многих случаях это оказывается хорошим приближением, но не всегда. Известно, например, что люди высокого роста стремятся вступить в брак с высокими людьми, так что рост человека таким путем анализировать нельзя. С другой стороны, установ-лено, что допущение о случайном скрещивании применимо к такому признаку человека, как группа крови. Большинство людей выбирают супруга, не заботясь о группе крови.


Список литературы

1. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика - М.: Высш. шк., 2005.— 160 с: ил.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969 576 с.

3. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М., Наука, 1969. -328 с.

4. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. -М., Наука, 1975. - 208 с.

5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика - М., Высш.шк., 2003.- 479 с.

6. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., Высш.шк., 2004.- 404 с.

7. Гроссман С., Тернер Д. Математика для биологов. - М., Высшая школа, 1983. - 383 с.

8. Козлов М.В. Элементы теории вероятности в примерах и задачах. - М., Изд. МГУ, 1990. - 344 c.

9. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. - М., Наука, 1971. - 322 с.

10. Новиков П.С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973, 400 с.


Тема: «Дифференциальные уравнения в биологии»
Раздел: Разное
Тип: Курсовая работа
Страниц: 40
Цена: 600 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы
Похожие материалы
  • Дипломная работа:

    Исследование одной системы дифференциальных уравнений

    20 страниц(ы) 

    Введение….….….…3
    Глава I. Существование бифуркационного значения параметра систем дифференциальных уравнений….4
    Глава II. Существование периодических решений системы дифференциальных уравнений в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет действительные собственные значения….….9
    Заключение….….….….….….17
    Список использованной литературы.….….…18
  • ВКР:

    Методика применения компьютерного моделирования для решения дифференциальных уравнений и в школьном курсе информатики

    85 страниц(ы) 

    Введение 3
    1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
    1.1 Линейные дифференциальные уравнения 6
    1.2 Нелинейные дифференциальные уравнения 11
    1.3 Асимптотические оценки и их свойства 15
    1.4 Асимптотические ряды и их свойства 18
    1.5 Определение и основные свойства асимптотических разложений 22
    1.6 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений 24
    Выводы по первой главе 25
    2 Моделирование решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 26
    2.1 Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 26
    2.2 Нахождение численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 28
    Выводы по второй главе 31
    3 Методика применения компьютерное моделирование в школьном курсе информатики 32
    3.1 Основные понятия и принципы компьютерного моделирования 32
    3.2 Анализ элективных курсов по компьютерному моделированию в школе. 37
    3.3 Элективный курс по компьютерному математическому моделированию в Maple 40
    Выводы по третьей главе 55
    Заключение 57
    Список использованной литературы 59
    Приложения 62
  • Дипломная работа:

    Методика исследования асимптотических разложений решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

    50 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава 1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ 5
    1.1. Дифференциальное уравнение второго порядка 5
    1.2. Определения и свойства асимптотических рядов 8
    1.3. Преобразование Лиувилля. 13
    1.4. Асимптотика решения дифференциального уравнения второго порядка. 17
    Глава 2.НАХОЖДЕНИЕ ФОРМАЛЬНОГО АСИМПТОТИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 26
    2.1. Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения 26
    Заключение 23
    Приложение 1 23
    Приложение 2 43
    Приложение 3 44
    Литература 45
  • Дипломная работа:

    Методика исследования асимптотических решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

    45 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава I. Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
    1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка 6
    1.2. Преобразование Лиувилля 9
    1.3. Определение асимптотического ряда 14
    1.4. Свойства асимптотических рядов 15
    1.5. Классификация особых точек; свойства решений в окрестности регулярной особой точки 21
    Глава II. Нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 25
    2.1. Постановка задачи. Нахождение формального асимптотического разложения решения 25
    2.2. Численные решения 32
    Заключение 34
    Список использованной литературы 35
    Приложения 37
    Приложение 1. Программа на языке Delphi 37
    Приложение 2. Результаты вычислений 41
  • Дипломная работа:

    Нахождение линейных законов сохранения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом компьютерной алгебры

    28 страниц(ы) 

    Введение 2
    Глава 1 Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4
    Глава 2 Базис Гребнера 12
    2.1 Общие понятия базисов Гребнера 12
    2.2 Решение системы полиномов 14
    2.3 Алгоритмические построения базисов Гребнера 16
    2.4 Улучшенная версия алгоритма 17
    Глава 3 Нахождение линейных первых интегралов с помощью матричных преобразований. 21
    Заключение 25
    Литература 26

Не нашли, что искали?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня

Другие работы автора
  • Дипломная работа:

    Особенности технической подготовки футболистов 15-16 лет в школьной секции футбола

    46 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ИЗУЧАЕМОЙ ПРОБЛЕМЫ 6
    1.1. Общая характеристика технической подготовки в футболе 6
    1.2. Средства и методы технической подготовки, в футболе применяемые в школьной секции 12
    1.3. Особенности технической подготовки школьников 15-16 лет, занимающихся футболом 20
    ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 24
    ГЛАВА II. МЕТОДЫ И ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ 25
    2.1. Методы исследования 25
    2.2. Организация исследования 27
    ГЛАВА III. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ АНАЛИЗ 29
    3.1. Комплекс упражнений для технической подготовки школьников 15-16 лет, занимающихся секции футбола 29
    3.2. Результаты исследования 32
    ВЫВОДЫ 40
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 41
  • Дипломная работа:

    Основы хореографической подготовки в спортивной аэробике (на примере спортивно-аэробического шоу «страдл»)

    82 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПО ПРОБЛЕМЕ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ХОРЕОГРАФИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧАСТНИКОВ КОЛЛЕКТИВА СПОРТИВНОЙ АЭРОБИКИ 7
    1.1. Спортивная аэробика как развивающийся вид спорта 7
    1.2. Роль хореографии и ее значение в развитии участников аэробического коллектива 18
    Выводы по первой главе 27
    ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФКТВНОСТИ ХОРЕОГРАФИЧЕСКИХ СРЕДСТВ В ПОВЫШЕНИИ ФИЗИЧЕСКОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ АЭРОБИСТОВ 30
    2.1. Средства и методы хореографической подготовки в спортивной аэробике 30
    2.2. Опытно-экспериментальное исследование по выявлению уровня хореографической подготовки аэробистов 41
    Выводы по второй главе 66
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 69
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 72
    ПРИЛОЖЕНИЕ 79
  • Курсовая работа:

    Личностно-ориентированное обучение иностранному языку в средней общеобразовательной школе

    39 страниц(ы) 

    Введение 3
    1. Значение изучения иностранного языка 4
    2. Дифференцированный подход в обучении английскому языку 16
    3. Формирование личностного отношения учащихся к знаниям при обучении иностранному языку 19
    4. Обучение личностно-ориентированному общению на основе текста в старших классах средней школы 23
    Какими видами спорта занимаются в свободное время в Германии 26
    5. Обучение иностранному языку и воспитание личности 28
    Заключение 37
    Список используемой литературы 38
  • Дипломная работа:

    Оценочный потенциал метафор в англоязычных средствах массовой информации

    63 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ
    ГЛАВА I. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О МЕТАФОРЕ В ЛИНГВИСТИКЕ
    1.1.Метафора как стилистический прием
    1.2.Классификация метафор в английском языке
    1.3.Основные функции метафор в тексте
    Выводы по главе 1
    ГЛАВА II. МЕТАФОРА В АНГЛОЯЗЫЧНЫХ СМИ
    2.1.Особенности и функции публицистического стиля
    2.2.Характеристика лексики публицистического стиля
    2.3.Характеристика грамматики публицистического стиля
    2.4.Использование средств выразительности в СМИ
    2.5.Метафора в языке англоязычных СМИ
    2.6. Классификация типов метафоры в языке прессы.
    Выводы по главе 2
    ГЛАВА III. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕССЫ НА УРОКЕ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА
    3.1.Применение современных образовательных технологий на уроках английского
    3.2.Использование газет и журналов на уроках английского
    3.3.Разработка урока «Британская пресса»
    Выводы по главе 3
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
  • Реферат:

    СЦЕНАРИЙ ДЕТСКОЙ ИГРОВОЙ ПРОГРАММЫ "Школа Шапокляк"

    20 страниц(ы) 

    Цель:
    Задачи:
    На игровой площадке
    Действующие лица.
    Музыкальное исполнение
  • Дипломная работа:

    Детекция детерминант устойчивости к ксенобиотикам у штаммов бактерий, выделенных из техногенных почв

    59 страниц(ы) 

    СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 4
    ВВЕДЕНИЕ 5
    Глава 1. ПРОБЛЕМА РАСПРОСТРАНЕНИЯ И ФОРМИРОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ У ПОЧВЕННЫХ МИКРООРГАНИЗМОВ 8
    1.1. Ксенобиотики. 8
    1.2. Открытие антибиотиков и их значение 9
    1.2.1. Общая характеристика класса тетрациклины 12
    1.3. Устойчивость почвенных бактерий к антибиотикам 13
    1.4. Механизмы устойчивости к тетрациклинам у микроорганизмов 17
    Глава 2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 23
    2.1. Объекты исследования 23
    2.2. Методы исследования 25
    2.2.1. Приготовление питательных сред и условия культивирования 25
    2.2.2. Методы посева бактерий 25
    2.2.3. Определение антибиотикоустойчивости 26
    2.2.4. Выделение бактериальной ДНК 27
    2.2.5. Определение генетических маркеров АБР методом ПЦР 27
    2.2.6. Электрофорез продуктов ПЦР в агарозном геле 28
    2.3. Биоинформатические методы 29
    2.3.1. Моделирование белка c использованием компьютерных программ.29
    Глава 3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ 30
    3.1. Исследование антибиотикорезистентности у бактерий-деструкторов 30
    3.2. Детекция детерминант устойчивости к классу тетрациклинов 34
    3.3. Моделирование структуры белков с использованием компьютерных программ 39
    Глава 4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ «БИОЛОГИЯ» 41
    4.1. Роль биологии в школьном образовании 41
    4.2. Применение материала выпускной квалификационной работы в школьном курсе «Биология» 43
    4.3. Разработка урока по биологии на тему «Строение и жизнедеятельность бактерий» для 5 класса 47
    4.4. Применение логико-смысловой модели в образовательном процессе 56
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 58
    ВЫВОДЫ 59
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 60
    ПРИЛОЖЕНИЕ 68
  • Дипломная работа:

    Развитие координационных способностей боксеров

    47 страниц(ы) 


    ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ КООРДИНАЦИОННЫХ СПОСОБНОСТЕЙ В НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ 4
    1.1. Физическая подготовка боксера 4
    1.2. Критерии оценки, формы проявления и сензитивные периоды развития координационных способностей 5
    1.3. Тренировка координации в боксе 7
    ГЛАВА II. ОРГАНИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 23
    2.2. Методы исследования 24
    ГЛАВА III. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ 28
    3.1. Результаты исследования ловкости у боксеров 28
    3.2.Экспериментальное обоснование усовершенствованной методики воспитания ловкости у боксеров 34
    ВЫВОДЫ 40
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 42
  • Дипломная работа:

    Лирика о.э. мандельштама в контексте традиций мировой художественной культуры

    123 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ….3
    ГЛАВА I. ЛИТЕРАТУРНЫЕ РЕМИНИСЦЕНЦИИ В ЛИРИКЕ О.Э. МАНДЕЛЬШТАМА
    1.1. Эстетические взгляды О. Мандельштама….9
    1.2. Формы представления реминисценций и их роль в лирике О.Э. Мандельштама….17
    Выводы по первой главе….29
    ГЛАВА II. ОБРАЗЫ МИРОВОГО ИСКУССТВА В ЛИРИКЕ О.Э. МАНДЕЛЬШТАМА
    2.1. Архитектурные образы в лирике О.Э. Мандельштама ….31
    2.2. Музыкальные образы в лирике О.Э. Мандельштама….47
    2.3. Образы изобразительного искусства в лирике О.Э. Мандельштама….68
    2.4. Методические рекомендации по реализации элективного курса «Образы мирового искусства в лирике поэтов серебряного века»….82
    Выводы по второй главе….108
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ….111
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ….114
  • Дипломная работа:

    Лингвострановедческий материал в обучении английскому языку

    59 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ….….3
    ГЛАВА 1. ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ЛИНГВОСТРАНОВЕДЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В ПРЕПОДАВАНИИ АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ….…7
    1.1 Лингвострановедческий материал и его проблематика в обучении английскому языку….7
    1.2 Методические аспекты применения лингвострановедческого материала в обучении английскому языку….19
    1.3 Влияние лингвострановедческого материала на формирование иноязычной культуры обучающихся….…27
    ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНГВОСТРАНОВЕДЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В ПРЕПОДАВАНИИ АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ КАК СПОСОБ ПОВЫШЕНИЯ КУЛЬТУРНОГО ФОНА УЧАЩИХСЯ….…36
    2.1 Применение лингвострановедческого материала при обучении английскому языку на основе УМК….36
    2.2 Анализ и сравнение учебников и учебно-методического комплекса…40
    2.3 Методика работы с УМК…49
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ….….51
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ….54
  • ВКР:

    Информационно-методическое сопровождение процесса подготовки младших школьников к олимпиадам по математике

    77 страниц(ы) 

    Введение
    Глава 1. Теоретические основы подготовки младших школьников к 9 олимпиадам по математике
    1.1. Историко-педагогические аспекты развития олимпиадного движения среди младших школьников
    1.2. Методические требования совершенствования подготовки учащихся к математическим олимпиадам
    1.3. Концептуальные подходы и принципы информационно-методического сопровождения процесса подготовки младших школьников к олимпиадам по математике
    Выводы по первой главе
    Глава 2. Опытно-поисковое исследование эффективности информационно-методического сопровождения процесса подготовки младших школьников к олимпиадам по математике
    2.1. Методические рекомендации для решения нестандартных задач на кружковых занятиях как основа подготовки к олимпиадам по математике
    2.2. Итоги опытно-поисковой работы по проверке эффективности информационно-методического сопровождения кружковой деятельности с младшими школьниками при подготовке к олимпиадам по математике
    Выводы по второй главе
    Заключение
    Список литературы
    Приложение