«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу функциональный анализ для направления прикладная математика и информатика» - Дипломная работа

Содержание

Введение. 5

Глава 1. Топологические пространства. 6

§1. Понятие множества. Характеристика свойств множеств. . . 6

§2. Понятия в топологическом пространстве. База топологии. . 7

§3. Структура открытых множеств и окрестностей. . . . . . . . 10

§4. Метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§5. Замыкание. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§6. Внутренние точки, внутренние границы. . . . . . . . . . . . 14

§7. Сепарабельное топологические пространства . . . . . . . . . 16

§8. Индуцированная топология. Отделимые пространства. . . . 18

§9. Непрерывное отображение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

§10. Компактные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Глава 2. Свойства метрических пространств. 22

§1. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве. 22

§2. Критерий полноты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

§3. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема

Хаусдорфа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

§4. Отображение компактных множеств. . . . . . . . . . . . . . 31

§5. Критерий компактности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

§6. Принцип сжимающих отображений и его применение. . . . . 36

§7. Теорема Бэра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Глава 3. Мера и измеримые множества. 41

§1. Измеримые множества. Мера. Системы множеств. . . . . . . 41

§2. Cистема множеств в евклидовом пространстве. . . . . . . . 42

§3. Функции множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

§4. Мера и её простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве.

45

§5. Внешняя мера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

§6. Измеримые множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§7. Сходимость почти всюду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

§8. Сходимость по мере. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

§9. Единственность предела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Глава 4. Интеграл Лебега. 60

§1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на

пространстве с конечной мерой. . . . . . . . . . . . . . . . 60

§2. Свойства интеграла( от ограниченных функций). . . . . . . 63

§3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае. . . . 67

§4. Предельный переход под знаком интеграла. . . . . . . . . . . 71

§5. Лемма Фату. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Глава 5. Нормированные и гильбертовы пространства. 75

§1. Нормированное линейное пространство. . . . . . . . . . . . . 75

§2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность.

Теорема Рисса локальной компактности. . . . . . . . . . . 77

§3. Гильбертово пространство. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

§4. Ортогональность и ортогональное дополнение . . . . . . . . 79

§5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . 80

Глава 6. Линейные операторы в нормированных пространст-

вах. 83

§1. Линейные операторы, непрерывность, ограниченность. . . . 83

§2. Пространство всех линейных непрерывных операторов. . . . 85

§3. Принцип равномерной ограниченности Банаха – Штейнгауза. 86

§4. Обратные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

§5. Замкнутый оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

§6. Теорема Банаха о замкнутом графике. . . . . . . . . . . . . 91

§7. Сопряженные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

§8. Сопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

§9. Самосопряженный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Глава 7. Спектральная теория операторов. 100

§1. Вполне непрерывный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

§2. Уравнения первого и второго рода. . . . . . . . . . . . . . . . 101

§3. Альтернативы Фредгольма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

§4. Спектр и резольвента. Теорема Гильберта - Шмидта. . . . . 108

Заключение. 113

Литература 114

Введение

Данная выпускная квалификационная работа представляет собой курс лекций по дисциплине

Функциональный анализ и может быть использована при подготовке к занятиям. В ее основу положены лекции, прочитанные студентам специальностей Прикладная математика и информатика. В работе изложены основные понятия, определения, свойства и теоремы, доказательства перечисленных выше разделов.

Для создания дипломной работы используется текстовый редактор LaTeX, который имеет ряд преимуществ таких, как включение в текст сколь угодно сложных математических формул, которые прекрасно смотрятся на печати; при печати получается текст типографического качества и т.д.

Весь курс лекций подразделен на семь глав, которые подразделяются на параграфы. Внутри параграфов текст, как правило, группируется по определениям, теоремам, замечаниям, примерам. В первой главе рассматриваются топологические пространства. Во второй главе изучается свойства метрических пространств. Рассматриваются такие теоремы как:

Теорема Хаусдорфа, теорема Бэра. В третьей главе изучаются мера и измеримые множества. В ней рассматриваются такие темы как: измеримые множества, мера, системы множе ств в евклидовом пространстве, внешняя мера, измеримые множества, сходимости, единственность предела. В четвертой главе изучается интеграл Лебега. В эту главу включены такие темы как: интеграл Лебега, свойства интеграла Лебега, лемма Фату.

В пятой главе рассматриваются нормированные и гильбертовы пространства.

В шестой главе линейные операторы в нормированных пространствах.

В седьмой главе рассматривается спектральная теория операторов.

Выдержка из текста работы

ГЛАВА 1

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.

§1. Понятие множества. Характеристика свойств множеств.

В курсе функциональный анализ будут рассматриваться множества чисел, множества точек, множества линий, множества функций и т.п. Множества обозначаются большими буквами A,B,C,M и т.д. Объекты, из которых состоит множество называются элементами множества. Мы будем обозначать их малыми буквами: a, b, c. Запись a ∈ A означает, что a есть элемент множества A. Запись ∅ – пустое множество. Запись A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A называют подмножеством множества B. Запись ∪

A - объединение множеств.

Запись ∩ A - персечение множеств. Запись ∞Σ n=1

An - дизъюнктное объединение множеств.

Отображением φ множества M1 в множество M2 обозначается: φ : M1 → M2. Образ элемента x при отображении φ обозначается: x : φ(x) Совокупность всех тех элементов a ∈ M1, образом которых является данный элемент b ∈ M2, называется прообразом элемента b при отображении φ : M1 → M2 и обозначается через φ−1(b). Таким образом, φ−1(b) = {a ∈ M1 : φ(a) = b}. Отображение φ множества M1 в множество M2 называется сюръекцией,если φ(M1) = M2. Теорема 1.1. (о прообразах). Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов соответственно:

ϕ

−1(A ∪ B) = ϕ

−1(A) ∪ ϕ

−1(B)

ϕ

−1(A ∩ B) = ϕ

−1(A) ∩ ϕ

−1(B)

Теорема 1.2. (об образах). Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:

ϕ(A ∪ B) = ϕ(A) ∪ ϕ(B)

§2. Понятия в топологическом пространстве. База топологии.

Определение 1. (топология множества) Пусть X – произвольное множество и τ = {U} – совокупность его подмножеств, обладающая следующими свойствами (аксиомы топологии):

1. ∅, X ∈ τ

2. объединение любой совокупности множеств из τ принадлежит τ

3. пересечение любого конечного числа множеств из τ принадлежит τ .

Такая совокупность τ называется топологическим пространством и обозначается X, τ .

Определение 2. Множество X с заданной на нем топологией τ называется топологическим пространством и обозначается (X, τ ).

Определение 3. Подмножества из совокупности τ называются открытыми (в пространстве (X, τ )).

Пример 1. τmin = ∅, x тривиальная топология.

Пример 2. τmax = {множество всех подмножеств X}.

Пример 3. Топология R1 множества всевожможных интервал (a, b) и все множества, представляются в виде объединения интервалов ∪(a, b) является топологией.

Определение 4. B ⊂ X называется замкнутым, если X − B ∈ τ является топологией.

В силу двойственного характера операций в теории множеств совокупность {F} всех замкнутых множеств топологического пространства X, τ удовлетворяет следующим свойствам:

1. X,∅ ∈ {F}

2. пересечение любой совокупности множеств из {F} принадлежащих

{F}(двойственность к топологии).

ГЛАВА 2

СВОЙСТВА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ.

§1. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве.

В метрическом пространстве вводится понятие сходимости последовательности. Пусть (X, d) - метрическое пространство.

Определение 23. Говорят, что xn ∈ X сходится к x ∈ X (xn → x0; lim n→∞xn = x0), если d(xn, x0) → 0 при n → ∞.

Лемма 2.1. 1. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то её предел единственный xn → x0, xn → y0 ⇒ x0 = y0.

2. Если последовательность сходится в метрическом пространстве, то она ограничена.

3. Если xn → x0, yn → y0, то⇒ d(xn, yn) → d(x0, y0)(метрика является непрерывной функцией своих аргументов).

Доказательство. 1. Пусть xn → x0; xn → y0. Применяя неравенство треугольника, получим: 0 ≤ d(x0, y0) ≤ d(x0, xn0) + d(xn0, y0) < 2ε. Оба слагаемых в правой части стремятся к нулю, т.к. d(a, b) ≥ 0 и не зависит от n, то ⇒ d(x0, y0) = 0 ⇒ x0 = y0.

2. Утверждение легко вытекает из определения сходимости последовательности заметим xn → x0 ⇒ d(xn, x0) → 0 ⇒ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ≥ n0. Следовательно все члены последовательности за исключением конечного числа попадают в окружность S(x, ε) т.к. любой конечный набор элементов является всегда ограниченным ⇒ ограниченность всей последовательности.

3. По неравенству 4-х угольника: |d(x, y) − d(xn, yn)| ≤ d(x, xn) + d(y, yn) ⇒ при n → ∞ получаем утверждение леммы.

Определение 24. Последовательность xn ∈ X называется фундаментальной последовательностью, если для ∀ε > 0, ∃N : d(xn, xm) < ε если n,m ≥ N

Теорема 2.1. (о сходимости последовательностей) Пусть {xn} – последовательность из метрического пространства X. Следующие условия эквивалентны:

1. {xn}-сход. к x0

2. ∀ подпоследовательность {xn}сходится x0

3. для ∀ подпоследовательности {xnk } существует подпоследовательность {xnk } сход. к x0.

4. {xn}-фундаментальная и любая подпоследовательность {xnk } сходится к x0.

5. xn- фундаментальная и ∃ подпоследовательность {xnk } сходящаяся к x0.

Доказательство. 1⇒2 и 2⇒3. Стандартные утверждения из математического анализа: подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу: доказательство абсолютно аналогично.

4⇒ 5 Очевидно.

3⇒ 4 вытекает из 5⇒1. Действительно, если 5⇒ 1 уже доказано,то в силу условий п.4 подпоследовательность {xnk

} фундаментальна, но по п.3 у неё существует сходящаяся к x подпоследовательность. Тогда из

5⇒ 1 вытекает, что {xnk } сама сходится к x.

Заключение

Данная работа была набрана и отредактирована в среде LaTeX. Для изучения данной программы использовались следующие монографии:

К.В. Воронцов "LATEX в примерах"и С.М. Львовский "Набор и верстка в системе LaTeX".

В результате проделанной работы был составлен обзор по курсу функ-циональный анализ.

Работа содержит необходимый теоретический материал в виде основных понятий, теорем, доказательств.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве методического пособия по курсу функциональный анализ для студентов специальностей "Прикладная математика и информатика".

Список литературы

[1] В. Босс. Лекции по математике, том5 – М.: Наука, 2005. - 448с.

[2] Б. З. Вулих. Введение в функциональный анализ – М.: Наука, 1967. - 296с.

[3] А. Н. Колмагоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа – М.: Наука, 2004. - 329с.

[4] С.С. Кутателадзе. Основы функционального анализа – М.: Наука, 2000. - 466с.

[5] Л. В. Канторович, Г.П. Акимов. Функциональный анализ – М.: Наука, 1984. - 208с.

[6] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Краткий курс функционального анализа. – М.: Наука, 1982.

[7] С.М. Львовский. Набор и верстка в пакете LaTeX. – М.: МЦНМО, 2003.

[8] К.В. Воронцов. LaTeX в примерах, 2005.