«Система подготовки выпускников к решению нестандартных задач по математике в профильных классах» - Дипломная работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

Глава 1. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 9

1.1 Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 9

1.2 Основные типы показательных уравнений и неравенств 10

1.3 Различные задачи, связанные с логарифмической функцией. 13

1.4 Метод мини-максов. 13

1.5 D-метод (дискриминантный метод). 15

Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 16

2.1 Использование понятия области определения функции 16

2.2 Использование понятий области значений функции 16

2.3 Использование свойства монотонности функции 17

2.4 Использование свойств четности или нечетности функций 18

2.5 Использование свойства периодичности функции 19

Глава 3. Решение нестандартных уравнений и неравенств 20

3.1 Решение простейших показательных уравнений и неравенств 20

3.2 Решение показательных уравнений и неравенств основных типов 21

3.3 Решение различных задач, связанных с логарифмической функцией 38

3.4 Решение уравнений методом мини-максов 41

3.5 Решение уравнений D-методом 45

3.6 Решение уравнений и неравенств, используя область определения функции 50

3.7 Решение уравнений, используя область значений функции 51

3.8 Решение уравнений и неравенств, используя свойства монотонности функции 52

3.9 Решение уравнений, используя свойства четности или нечетности функции 53

3.10 Решение уравнений и неравенств, используя свойство периодичности функции 54

3.11 Решение различных нестандартных уравнений из заданий ЕГЭ 55

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 59

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 60

Введение

Не все математические задачи являются простыми и решаются быстро без некоторых размышлений и усилий. Уверенно справиться с ним может ученик, который хорошо владеет материалом школьной программы и имеет обширную практику в решении задач. А это достигается лишь упорным, настойчивым трудом.

На едином государственном экзамене от выпускников требуется исчерпывающее, логически верное и грамотно изложенное решение поставленных перед ним задач. По результатам единого государственного экзамена можно выяснить, насколько выпускник овладел логикой математических рассуждений, в какой мере он умеет применять свои теоретические знания при решении задач.

Всем более или менее подготовленным учащимся знакомы обычные приемы решения обычных задач — различного вида уравнений и неравенств, текстовых задач, геометрических задач и т.п. Эти знания часто ограничены различного рода правилами, не выходящими за пределы чисто технических умений и навыков, что мешает решению нестандартных задач.

Нестандартные задачи — это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. В зависимости от того, знают ли учащиеся алгоритм необходимый для решения задачи, одну и ту же задачу можно считать как стандартной, так и нестандартной.

Нестандартная задача обычно понимается либо как задача, методика решения которой учащемуся неизвестна, либо как задача, для решения которой в курсе математики не содержатся правила, определяющие алгоритм его решения. К нестандартным задачам отнесем также такие задачи, которые создают для учащегося непростую ситуацию, требующую для своего разрешения нестандартного мышления, изобретательности, смекалки, внимательности, выработки новых алгоритмов и способов решений.

Нестандартные задачи бывают разных типов. Многие из них внешне выглядят необычно, и поэтому учащимся совершенно не понятно, как к ним подступиться и как начать решение задачи. Другие замаскированные с виду, например, это обычное уравнение, но стандартными приемами оно не решается. Для решения третьих необходимо очень тонкое и четкое логическое мышление. В общем, можно долго перечислять всевозможные особенности нестандартных задач и вряд ли можно перечислить все возможные особенности [6].

Нестандартные задачи требуют определенной сообразительности, и свободного владения различными разделами математики, и высокой логической культуры. И помимо этого — психологической подготовленности.

Невозможно указать все методы решения нестандартных задач. Здесь приходится применять и графики, и самые различные свойства функций, и неравенства, и — последнее по счету, но первое по важности — логику.

В данной выпускной квалификационной работе разбираются подробно решения некоторых нестандартных задач. Сами по себе эти решения несложны, их вовсе нетрудно понять, гораздо сложнее найти эти решения самостоятельно для учащихся.

Учащиеся, столкнувшись с нестандартными задачами, часто теряются, что в большинстве случаев приводит к отказу от попыток решать задачу. Многие учащиеся не в полной мере владеют умениями, навыками, определяющими порядок и стратегию действий при решении различных задач, в частности, умением самостоятельно разрабатывать некоторый алгоритм действий, соотносить его с полученными результатами, осуществлять контроль и оценку выполнения исходного алгоритма действий, обобщать полученные результаты[2].

Универсального метода, с помощью которого можно было бы решать нестандартные задачи разных типов, нет. Чтобы помочь учащимся найти ключ к решению нестандартной задачи, необходимо понять источник его всевозможных затруднений и непониманий.

Хорошим средством обучения решению нестандартных задач, а также средством для нахождения алгоритмов решения являются вспомогательные задачи[3]. Вспомогательные задачи помогут учащимся понять идею решения и составить алгоритм решения.

Умение решать нестандартные задачи овладевается только лишь практикой. Самостоятельная работа и умелая помощь учителя – залог плодотворного обучения решению нестандартных задач.

Образовательные функции нестандартных задач.

Нестандартные задачи:

- учат школьников использовать не только готовые известные алгоритмы, но и самостоятельно составлять новые алгоритмы решения задач, т. е. способствуют умению находить уникальные способы и алгоритмы решения задач;

- развивают смекалку, сообразительность у учащихся;

- препятствуют выработке вредных штампов при решении задач, разрушают неправильные ассоциации в знаниях и умениях учащихся, предполагают не столько усвоение алгоритмических приемов, а сколько нахождение новых взаимосвязей в знаниях, к применению знаний в новых условиях, к овладению различными приемами умственной деятельности;

- создают необходимые благоприятные условия для углубления и повышения прочности знаний учащихся, обеспечивают сознательное усвоение новых математических терминов.

Решение нестандартных задач активизирует деятельность учащихся. Учащиеся учатся сравнивать, классифицировать, обобщать, анализировать, а это способствует более прочному и сознательному усвоению знаний.

Нестандартные задачи весьма полезны не только для обычных уроков математики, но и для внеклассных, факультативных занятий, для подготовки к математическим олимпиадам, т. к. при этом приобретается отличная возможность дифференцировать результаты каждого учащегося. нестандартные задачи могут также с успехом использоваться и в качестве индивидуальных заданий для тех учеников, которые легко и быстро справляются с основной частью заданий на уроке, или для желающих в качестве дополнительных заданий.

Систематическое использование нестандартных задач способствует формированию и развитию умений и навыков:

а) в проведении анализирования, сравнений, сопоставлений;

б) в выявлении причинно – следственных связей;

в) в выполнении простейших доказательств и опровержений;

г) в открытии закономерностей и построении обобщений, выводов;

д) в отыскании наиболее рациональных решений;

В результате решения нестандартных задач учащиеся получают интеллектуальное развитие и подготовку к активной практической деятельности.

В данной выпускной квалификационной работе рассматриваются решения различных показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Используются различные методы решений, такие как: метод мини-максов, дискриминантый метод, функциональный метод решения.

Выдержка из текста работы

Глава 1. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

1.1 Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

1.1.1. уравнение

1. если , то решений нет, так как .

2. Если

Ответ: при решений нет; при .

1.1.2. неравенство

1. Если , то неравенство справедливо для всех .

2. Если, , то и мы обязаны рассмотреть два случая:

а) при ;

б) при .

1.1.3. Неравенство

1. Если , то неравенство не имеет решений.

2. Если , то

а) при .

б) при

1.1.4. Неравенство .

1. Если , то

2. Если , то

Ответ: при , то ; при , то .

1.1.5. Неравенство

1. Если , то

2. Если , то

Ответ: при , то ; при , то [2].

1.2 Основные типы показательных уравнений и неравенств

1.2.1. Рассмотрим неравенство вида

Решение.

Обозначив , получим

Пусть решение последнего неравенства имеет вид:

где и

Тогда простейшее неравенство не имеет решений, а неравенство решения имеет.

Сразу выпишем в этом случае ответ:

Ответ: 1. ; 2. ; 3. и т.п.

1.2.2. Рассмотрим неравенство (уравнение) вида:

Обозначив получим так как Решив последнее неравенство относительно y, получаем простейшие показательные неравенства.

1.2.3. Уравнения и неравенства вида

Решение.

Поделив обе части неравенства (уравнения), например, на , получим равносильное неравенство(уравнение).

Обозначив получим

Замечание. Можно было бы поделить обе части неравенства(уравнения) не на выражение , а на выражение , вновь бы получилось неравенство типа 1.2.1., если поделить обе части исходного неравенства(уравнения) на , то получается неравенство (уравнение) типа 1.2.2 [2].

1.2.4. Неравенства (уравнения) вида

Решение.

Обозначив , получим

или =y

мы приходим к неравенству (уравнению)

Решив последнее неравенство, мы приходим к необходимости решить затем неравенство и т.п., то есть неравенство

и т.п. неравенства 1.2.2.

1.2.5. Метод разложения на множители.

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие показательную функцию, удается после группирования членов привести к одному из следующих видов:

и т.п.

После этого решение задачи сводится к рассмотрению совокупности систем неравенств стандартным образом [2].

Заключение

Данная выпускная квалификационная работа предназначена для подготовки школьников к ЕГЭ, для подготовки студентов к урокам математики во время педагогической практики, также данная выпускная квалификационная работа может быть полезна студентам при подготовке к практическим занятиям по курсу «Элементарная математика» и «Нестандартные задачи по математике».

Список литературы

1. Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. — 3-е изд., дораб.— М.: Просвещение 1989.— 192 с.

2. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных / С.В. Кравцев и др. — М.: Издательство: Экзамен, 2005. — 544 с. (серия «Абитуриент»)

3. Дорофеев Г. В. Математика: Для поступающих в вузы: Пособие / Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. — 5-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2007. — 560 с.

4. Колесникова С. И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. — М.: Айрис-пресс, 2005. — 272 с.

5. Ковалева Г.И. Функциональный метод решения уравнений и неравенств / Г.И. Ковалева, Е.В. Конкина. — М.: чистые пруды, 2008. — 32с.

6. Пойа Д. Как решать задачу / Д. Пойа. — Львов, Журнал «Квантор», 1991. — 216 с.

7. Хорошилова Е.В. Элементарная математика: Учеб. пособие для старшеклассников и абитуриентов. Часть 1: Теория чисел. Алгебра. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010. – 472 с.

8. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. —М.: ИЛЕКСА, 2007. — 252 с.

9. Математика: ЕГЭ: Учебно-справочные материалы (Серия «Итоговый контроль: ЕГЭ») / Ю.М. Нейман, Т.М. Королёва, Е.Г.Маркарян. — М.; Спб.: «Просвещение», 2011. — 287 с.

Примечания

К работе прилагается презентация.