СтудСфера.Ру - помогаем студентам в учёбе

У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

Молекулярная динамика. Расчёт ньютоновских траекторий движения - Курсовая работа №17908

«Молекулярная динамика. Расчёт ньютоновских траекторий движения» - Курсовая работа

  • 30 страниц(ы)

Содержание

Введение

Выдержка из текста работы

Заключение

Примечания

фото автора

Автор: navip

Содержание

Молекулярная динамика 2

Расчёт ньютоновских траекторий движения 2

Методы ускорения расчётов молекулярной динамики 5

Учёт влияния среды в молекулярной динамике 7

Периодические граничные условия 7

Термостаты 7

Программа на фартране 13

Программа на паскале 17


Введение

Метод молекулярной динамики позволяет моделировать детальную микроскопическую картину внутренней подвижности макромолекулы. В его основе лежит расчет классических (ньютоновских) траекторий движения макромолекулы в фазовом пространстве координат и импульсов ее атомов, когда молекула рассматривается как система взаимодействующих классических частиц. Метод молекулярной динамики успешно используется в теоретических исследованиях структуры и динамики биологических макромолекул, жидкостей, газов и других молекулярных систем.

Ниже мы рассмотрим физико-математический аппарат, лежащий в основе группы методов, объединённых этим названием.

Здесь также приводятся примеры молекулярного кино, созданного с помощью этих методов. Молекулярное кино, это отображение молекулярной конформационной подвижности в реальном времени. Приведённые далее примеры иллюстрируют "жизнь молекул" в диапазонах от 0,5 до 10 пикосекунд:

Расчёт ньютоновских траекторий движения.

В методе молекулярной динамики рассчитываются классические (ньютоновские) траектории движения атомов макромолекулы в силовом поле эмпирического атом-атомного потенциала, т. е. моделируется детальная микроскопическая картина внутренней тепловой подвижности макромолекулы в субнаносекундных интервалах времен. Основу метода составляет численное решение классических уравнений Ньютона для системы взаимодействующих частиц:

где - радиус-вектор i-го атома, - его масса, суммарная сила, действующая на i-ый атом со стороны остальных частиц:

Здесь: -потенциальная энергия, зависящая от взаимного расположения всех атомов; n - число атомов.

Задав координаты и скорости всех частиц в начальный момент времени, числено решают уравнения движения, вычисляя на каждом шаге все силы и новые координаты и скорости частиц. Температура определяется как средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы системы:

Здесь N - полное число степеней свободы молекулы, - постоянная Больцмана. В случае изолированной системы N=3n-6, поскольку сохраняется ее полный импульс и момент импульса. Кроме того, в этом случае сохраняется полная энергия системы, а температура получается усреднением ее мгновенных значений T(t) по некоторому интервалу времени.

Потенциальная энергия молекулы задается в виде:

+ + + + + +

где слагаемые отвечают следующим типам взаимодействий:

- химическим связям; - валентным углам; - торсионным углам; - плоским группам; - ван-дер-ваальсовым контактам; - электростатике; - водородным связям

Указанные слагаемые имеют различный функциональный вид. Валентные длины поддерживаются за счет потенциала:

где суммирование проводится по всем химическим связям, - обозначение для равновесных валентных длин, r - текущие длины связей, - соответствующие силовые константы Уравнение, описывающее потенциал валентных связей следует из закона Гука

Валентные углы задаются потенциалами

где - равновесные значения углов, - их текущие значения, - силовые константы. Уравнение, описывающее потенциал валентных связей также следует из закона Гука.

Энергия торсионных взаимодействий и потенциалов, отвечающих плоским группам, записываются в одинаковом виде:

где n - кратность торсионного барьера, - сдвиг фазы, константы определяют высоты потенциальных барьеров двугранных углов.

Ван-дер-ваальсовые взаимодействия атомов, разделенных тремя и более валентными связями описываются с помощью потенциалов Леннард-Джонса:

Параметры потенциала A и B зависят от типов атомов i и j, участвующих во взаимодействии; - расстояние между этими атомами.

Очевидно, что вид потенциала зависит от свойств атомов, участвующих в образовании Ван-дер-Ваальсовых связей.

Электростатические взаимодействия задаются кулоновским потенциалом

где , - парциальные заряды на атомах, - диэлектрическая проницаемость среды.

Водородные связи возникают и исчезают в процессе движения атомов между теми из них, которые имеют донорно-акцепторный статус. Функциональный вид потенциала водородной связи аналогичен потенциалу ван-дер-ваальсовым взаимодействий:

Существуют различные наборы параметров для потенциалов взаимодействий. Их значения определяются из учета различных типов экспериментальных данных (спектральные, калориметрические, кристаллографические) и квантовомеханических расчетов.


Выдержка из текста работы

Методы ускорения расчётов молекулярной динамики.

Время, необходимое для расчета траектории молекулы, можно значительно сократить, уменьшая число степеней свободы. Существует два способа ограничения движений длин валентных связей и углов. В одном случае длины валентных связей и значения валентных углов жестко фиксированы, в другом случае на них накладываются упругие ограничения с очень большой константой упругости. Статистические свойства жестко и упруго ограниченных систем, вообще говоря, различны. При разных формах упругого потенциала получаются статистически разные результаты, один из таких потенциалов соответствует жестко фиксированным валентным связям и углам. При этом, в общем случае, упругие потенциалы статистически предпочтительнее как для валентных связей, так и для валентных углов. Рассмотрим, например, следующий численный эксперимент: с помощью метода молекулярной динамики моделировали движение трехатомной (рис., а) и четырехатомной молекул (рис., б) в растворе со сферическими молекулами. Оказалось, что в случае жестких ограничений, в отличие от упругих, вектора, соединяющие первый и третий атомы в случае (а) и первый и четвертый атомы в случае (б), неравномерно распределены по сфере:

Последние исследования в этой области показали, что колебания валентных углов, по-видимому, связаны с коллективными движениями в молекуле и, из-за плотной упаковки атомов внутри белка небольшие флуктуации валентных углов ( ) играют существенную роль в движениях, включающих другие степени свободы. При фиксации валентных углов амплитуда флуктуаций торсионных углов уменьшается в 2 раза, а конформационные переходы по торсионным углам из одного минимума энергии в другой исчезают совсем.

В некоторых случаях степени свободы, соответствующие изменениям значений валентных углов, учитываются неявно. Этот учет валентных углов незначительно увеличивает время счета, но значительно увеличивает конформационную подвижность, благодаря чему полученные результаты в большей степени соответствуют экспериментальным данным.

Иногда используют алгоритмы, в которых переменные, соответствующие медленным степеням свободы, постоянны на протяжении некоторого числа шагов. Однако, при таких расчетах происходит довольно быстрое накопление ошибки. Этого недостатка лишены методы MTS (multiple-time-step methods). В этих методах для вычисления сил, соответствующих быстрым и медленным степеням свободы, используются разные временные интервалы. Время счета при этом сокращается в 4 - 5 раз.

Как правило, в методе молекулярной динамике для ускорения расчетов ван-дер-ваальсовые, водородные и электростатические взаимодействия рассчитываются только между атомами, находящимися на расстоянии меньшем, чем радиус обрезания (10-15 ). Недавно был предложен метод PPPC (particle-particle and particle-cell) расчета кулоновских взаимодействий. В методе РРРС каждый атом взаимодействует с ближними атомами путем обычных кулоновских взаимодействий, а с далеко отстоящими ячейками через общий заряд и дипольный момент этой ячейки. Размеры ячеек возрастают как функции расстояния от атома:

Учёт влияния среды в молекулярной динамике.

Проблема учёта влияния кружающей среды на конформационную подвижность изучаемых молекул в рамках метода молекулярной динамики решается двумя способами: явным введением в уравнения движения дополнительного потенциала и явным учётом окружения с добавлением в систему молекул окружающей среды. Добавление в систему дополнительных молекул среды существенно увеличивает объём расчётов (пропорционально квадрату числа атомов) и поэтому мало применимо к расчёту молекулярной динамики биологических макромолекул. Однако существует модификация этого подхода, связанная с вводом периодических граничных условий, что позволяет уменьшить объём системы. Дополнительный потенциал в уравнениях движения не может быть универсальным для разных систем и его тип сильно привязан к конкретной задаче.

Периодические граничные условия.

Периодические граничные условия позволяют рассматривать сравнительно небольшой "кубик" пространства, в котором расположена изучаемая молекула. Молекулы, расположенные внутри кубика со временем претерпевают конформационные движения и перемещаются в пространстве, причём могут пересечь границы кубика. Суть метода заключается в том, что пространство разбивается на одинаковые кубики, причём предполагается, что содержимое кубиков одинаково и границы кубиков соприкасаются. При пересечении молекулой границы одного кубика, она попадает в другой, но это значит, что в первый кубик с противоположной стороны попадает такая же молекула. При этом моделируется динамика лишь одного такого кубика. Естественно, что размер кубика должен быть достаточно большим для исключения возможности краевых эффектов.

Термостаты.

Часто взаимодействие с тепловым резервуаром моделируется дополнительной силой трения . Коэффициент  выбирается таким образом, чтобы сила обеспечила изменение энергии системы по закону

Здесь E – энергия изолированной системы (при отсутствии взаимодействия с резервуаром сохраняется),  E – характерное время взаимодействия с резервуаром, – кинетическая энергия системы, – константа, равная средней кинетической энергии, соответствующей температуре резервуара T0. Уравнения движения метода имеют вид

 =1,…,N

Расчёт траекторий движения в молекулярной динамике по этим уравнениям носит название WCEB (weak coupling to an external bath). Однако, среди специалистов такой метод задания теплового резервуара более известен как метод термостата Берендсена. Этот метод широко применяется для моделирования молекулярной динамики молекул с большим числом степеней свободы, в частности полипептидов и белков.

В броуновской динамике сила, осуществляющая взаимодействие системы с тепловым резервуаром, состоит из двух частей: систематической силы трения FT и шума FC.

i=1,…,3N

 i – коэффициент трения, соответствующий координате Xi. Сила FC(t) –  -коррелированный по времени, гауссовский случайный процесс. Первый и второй моменты этого процесса равны

Интенсивность шума Dij называют тензором диффузии. Уравнения движения метода броуновской динамики называются уравнениями Ланжевена, а метод расчёта молекулярной динамики по этим уравнениям - методом Ланжевеновской динамики

i=1,…,3N

Добавление случайной силы превращает все динамические переменные в случайные величины. Меняется сам способ описания состояния системы: бессмысленно говорить о нахождении системы в точке фазового пространства. Теперь под состоянием системы понимается плотность распределения P(X,V,t) на фазовом пространстве: P(X,V,t) dX dV равно вероятности нахождения системы в момент времени t в малой окрестности точки (X,V). С вышеуказанным уравнением связано дифференциальное уравнение второго порядка для функции P(X,V,t) – уравнение Фоккера-Планка.

Это уравнение описывает эволюцию состояния нашей системы. При выполнении этих условий, любое начальное состояние P0(X,V) будет стремиться к единственному стационарному состоянию P (X,V). Естественно потребовать, чтобы это стационарное состояние совпадало с равновесным ансамблем Гиббса, плотность распределения которого равна

где H(X,V) – гамильтониан системы. Достаточное условие того, чтобы распределение  было стационарным решением уравнения Фоккера-Планка, суть соотношение

Следовательно, интенсивность шума в броуновской динамике не произвольна, а должна выбираться в соответствии с этим уравнением.

В методе Андерсона (МА) взаимодействие системы с тепловым резервуаром моделируется следующим образом. В определённые моменты времени tk движения изолированной системы происходит замена её скоростей V на новые скорости U. Скорости U суть случайные величины, распределённые в соответствии с импульсной частью PM(X,V) равновесного распределения Гиббса. Если на систему не наложено геометрических связей, то PM(X,V) не зависит от X и совпадает с распределением Максвелла.

Если система состоит из одной частицы массы m, то предлагаемая замена скоростей эквивалентна соударению с виртуальным атомом резервуара, который имеет ту же массу m и скорость U, выбранную случайно из распределения Максвелла. Но если частица обладает внутренними степенями свободы, то предлагаемая замена не эквивалентна одному соударению.

Метод Нозе. Во всех предыдущих методах, моделирующих динамику системы в тепловом резервуаре, тепловой резервуар явно не описывался. Обычно вводится явно дополнительная степень свободы s, которая описывает резервуар. Лагранжиан расширенной системы имеет вид

Здесь Q – некоторая константа. Из уравнений Лагранжа получаются уравнения движения как для атомов системы, так и для переменной s. Хотя физический смысл переменной s не ясен, было показано, что такое искусственное расширение системы формально позволяет оценивать средние по Гиббсу величины от функций, определённых на фазовом пространстве системы (без резервуара), путём усреднения их вдоль траекторий расширенной системы.

Часто изучаемые процессы происходят в локализованной области. Например, в ферментативных реакциях, при связывании лигандов для транспортировки. В этих случаях биологическая активность связана с динамикой в окрестности активного центра или места связывания. Для моделирования таких процессов наиболее широко используется метод МД со стохастическими граничными условиями (СГУ). В этом методе изучаемая система разделяется на две области: «реакционную» зону (РЗ) и резервуарную область (РО). Реакционная зона содержит ту часть системы, которая участвует в интересуемом нас процессе. Резервуарная область исключается из вычислений и её влияние на атомы в РЗ учитывается эффективно через среднюю силу и стохастическую силу . Причём стохастическая сила действует только на атомы в окрестности границы РЗ, которая называется буферной зоной.


Заключение

Программа на паскале

function IntToStr(I: integer): String;

{ Convert any integer type to a string }

var

S: string[11];

begin

Str(I, S);

IntToStr := S;

end;

type

numer=object

x:real;

y:real;

z:real;

end;

var

n:array[1.1000] of numer;

dxn,dyn,dzn:array[0.1000] of real;

dx,dy,dz,i,j,k,l:integer;

Vmax,x0,y0,z0,q,w,e,r:real;

fx,fy,fz:text;

begin

writeln('Введите число молекул: ');readln(k);

writeln('Введите значение максимальной скорости: ');readln(Vmax);

writeln('Введите размеры квадрата(dx dy dz): ');readln(dx, dy, dz);

writeln('Введите начальные координаты(x0 y0 z0): ');readln(x0,y0,z0);

for i:=1 to k-1 do

begin

n[i].x:=random(dx);

n[i].y:=random(dy);

n[i].z:=random(dz);

dxn[i]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

dyn[i]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

dzn[i]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

end;

dxn[0]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

dyn[0]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

dzn[0]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

assign(fx,'c:\x.txt');

assign(fy,'c:\y.txt');

assign(fz,'c:\z.txt');

rewrite(fx);

rewrite(fy);

rewrite(fz);

for i:=0 to 100 do

begin

x0:=x0+dxn[0];

y0:=y0+dyn[0];

z0:=z0+dzn[0];

for j:=1 to k-1 do

begin

n[j].x:=n[j].x+1/(100-vmax)*random(10-5);;

n[j].y:=n[j].y+1/(100-vmax)*random(10-5);;

n[j].z:=n[j].z+1/(100-vmax)*random(10-5);;

if (trunc(x0)=trunc(n[j].x))

and (trunc(y0)=trunc(n[j].y))

and (trunc(z0)=trunc(n[j].z)) then

begin

dxn[0]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

dyn[0]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

dzn[0]:=1/(100-vmax)*random(10-5);

end;

end;

writeln(i);

writeln(fx,inttostr(trunc(x0)));

writeln(fy,inttostr(trunc(y0)));

writeln(fz,inttostr(trunc(z0)));

end;


Примечания

Робота сдавалась 1 раз (отл.)

Тема: «Молекулярная динамика. Расчёт ньютоновских траекторий движения»
Раздел: Физика
Тип: Курсовая работа
Страниц: 30
Цена: 700 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы
Похожие материалы
  • Реферат:

    Развитие координации движений

    25 страниц(ы) 

    Введение 3
    1 Координация движений: понятие, характеристика 5
    2 Средства развития координации движений 11
    3 Методы развития координации движений 15
    Заключение 24
    Список литературы 26
  • Контрольная работа:

    Динамика. Кинематика. Статика.

    38 страниц(ы) 

    Динамика. 5 задач
    Варианты курсового задания Д. 3
    Для закрепления изложенного теоретического материала рекомендуется выполнить курсовое задание Д. 3.
    В данном учебно-методическом пособии вариантам курсового задания Д. 3 соответствуют курсовые задания Д. 9, приведенные в сборнике заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для техн. вузов/ Яблонский А. А., Норейко С. С., Вольфсон С. А. и др.; Под ред. А. А. Яблонского. – 4-е изд. , перераб. и доп. М.: Высш. шк., 19895. – 367 с., ил.
    Задание Д. 9. Применение теоремы об изменении
    кинетического момента к определению угловой
    скорости твердого тела
    Тело Н массой m1 вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью ω0; при этом в точке О желоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль желоба, находится материальная точка К массой m2. В некоторый момент времени (t0 = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом Mz = Mz(t). При t = τ действие пары сил прекращается.
    Определить угловую скорость ωτ тела Н в момент t = τ.
    Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью ωτ.
    В некоторый момент времени t1 = 0 (t1 – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении от А к В) по закону ОК = s = s(t1).
    Определить угловую скорость ωТ тела Н при t1 = T.
    Тело Н рассматривать как однородную пластинку, имеющую форму, показанную в табл. 4.1.
    . Варианты курсового задания Д. 4
    Для закрепления изложенного теоретического материала учебным планом рекомендуется выполнить курсовое задание Д. 4.
    В данном учебно-методическом пособии вариантам курсового задания Д. 4 соответствуют курсовые задания Д. 10, приведенные в сборнике заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для техн. вузов/ Яблонский А. А., Норейко С. С., Вольфсон С. А. и др.; Под ред. Яблонского А. А. – 4-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1985. – 376 с., ил. Как это отмечалось ранее, такой подход к выбору вариантов курсовых заданий позволяет обеспечить единство требований к качеству заочной и очной форм обучения в высших учебных заведениях Российской Федерации. Ниже приведены варианты задания Д. 4.
    Задание Д. 4. Применение теоремы об изменении
    кинетической энергии к изучению движения
    механической системы
    Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 5.31 – 5.33. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1-3, 5, 6, 8-12, 17-23, 28-30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6-9, 11, 13-15, 20, 21, 24, 27, 29), и пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным S.
    В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R2, r2, R3, r3 – радиусы больших и малых окружностей; i2x, i3x – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести; α, β – углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения; δ – коэффициент трения качения.
    Необходимые для решения данные приведены в табл. 5.2. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными дисками.
    Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.
    5.6.4. Варианты курсового задания Д. 5
    Определить реакции внешних связей механической системы: в положении, показанном на рис. 5.47 – 5.49 для вариантов 4, 5, 10, 15, 19, 21 – 30; в момент времени t1 для вариантов 1, 8, 9, 11, 20; в тот момент времени, когда угол поворота имеет значение φ1 для вариантов 2, 3, 6, 7.
    На расчетных схемах плоскость OXY (AXY) горизонтальна, плоскость OYZ (AYZ) вертикальна. Необходимые для решения данные приведены в табл. 5.3, в которой ω – угловая скорость; φ0, ω0 – значения угла поворота и угловой скорости в начальный момент времени.
    Применение принципа возможных перемещений
    к решению задач о равновесии сил, приложенных
    к механической системе с одной степенью свободы
    Схемы механизмов, находящихся под действием взаимно уравновешивающихся сил, показаны на рис. 5.66 – 5.68, а необходимые данные приведены в табл. 5.4.
    Примечания к вариантам.
    Вариант 6. Вес рукоятки О1А не учитывать.
    Вариант 7. Пружина сжата.
    Вариант 8. Пружина сжата.
    Вариант 10. Вес рукоятки ОА не учитывать.
    Вариант 14. Вес стержней ОА и ОВ не учитывать; пружина растянута.
    Вариант 16. Вес стержней О1А и О2В не учитывать.
    Вариант 17. Пружина растянута.
    Вариант 18. Р – вес блока радиуса r2.
    Вариант 19. Вес звена АВ не учитывать.
    Вариант 25. Пружина сжата.
    Вариант 25. Вес стержней АО и ВО не учитывать. Пружина растянута.
    Вариант 26. Пружина растянута.
    Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину, указанную в последней графе табл. 5.4.
    Кинематика. 4 задачи
    Задание К 1. Определение скорости и ускорения точки
    по заданным уравнениям ее движения
    По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t1 найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
    Необходимые для решения данные приведены в таблице.
    Задание К 2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях
    Определить скорость и ускорение точки М одного из колес механизма в момент времени t1. Схемы механизмов показаны на рисунках, а необходимые данные приведены в таблице.
    Задание К 3. Кинематический анализ плоского механизма
    Для заданного положения плоского механизма найти скорости точек В и С и угловые скорости звеньев этого механизма. Схемы механизмов помещены на рисунках, а необходимые для расчета данные приведены в таблице
    Задание К 7. Определение абсолютной скорости
    и абсолютного ускорения точки
    По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t1 абсолютные скорость и ускорение точки М. Схемы механизмов показаны на рисунках, а необходимые для расчета данные приведены в таблице.ПРИМЕЧАНИЕ. Для каждого варианта положение точки М на схеме соответствует положительному значению дуговой координаты Sr.
    Статика. 4 задачи
    Задание С 1. Определение реакций опор твердого тела
    На рисунках вариантов заданий показаны три способа закрепления бруса, ось которого – ломаная линия. Задаваемые нагрузки (см. табл.) и размеры (м) во всех трех случаях одинаковы. Определить реакции опор для каждого способа закрепления бруса.
    Задание С 2. Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы
    Определить реакции опор фермы от заданной нагрузки, а также силы во всех ее стержнях способом вырезания узлов. Варианты расчетных схем и нагрузки, действующие на фермы, приведены на рисунках и в таблице.
    Задание С3. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)
    Конструкция состоит из двух тел. Определить реакции внешних связей. Варианты конструкций и исходные данные для расчета приведены на рисунках и в таблице.
    Задание С 7. Определение реакций опор твердого тела
    Найти реакции внешних связей, наложенных на твердое тело. Схемы конструкций показаны на рис. Необходимые для расчета данные приведены в таблице.
  • Дипломная работа:

    Динамика развития интеллектуальных и коммуникативных качеств учащихся в вариативной образовательной среде

    95 страниц(ы) 


    ВВЕДЕНИЕ.….3
    ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАЗВИТИЯ ИНТЕЛЛЕК-ТУАЛЬНЫХ И КОММУНИКАТИВНЫХ КАЧЕСТВ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА В ВАРИАТИВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДЕ….….….7
    1.1. Проблема вариативных образовательных сред (профилей обучения) как факторов, определяющих траекторию развития личности школьника….….7
    1.2. Специфика интеллектуального развития учащихся среднего школь-ного возраста….….17
    1.3. Развитие коммуникативных качеств учащихся среднего школьного возраста….….26
    ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ I.36
    ГЛАВА II. ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ И КОММУНИКАТИВНЫХ КАЧЕСТВ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО И ГИМНАЗИЧЕСКОГО ПРОФИЛЕЙ….…38
    2.1. Организация и методы исследования….38
    2.2. Исследование уровня развития и интеллектуальных и коммуни-кативных качеств учащихся среднего школьного возраста общеоб-разовательного и гимназического профилей….….40
    2.3. Сравнительный анализ динамики развития интеллектуальных и коммуникативных качеств учащихся среднего школьного возраста гимназического и общеобразовательного профилей….….52
    ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ II….….75
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ….78
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ….81
    ПРИЛОЖЕНИЯ….85
  • Контрольная работа:

    Уравнение траектории точки на участке ВС (вариант 2)

    4 страниц(ы) 

    Дано: альфа = 15, Vа = 2 м/с, f = 0,2, h = 4 м, бета = 45
    Найти: l и уравнение траектории точки на участке ВС.
  • Курсовая работа:

    Анализ причин и динамики инфляции в РФ

    47 страниц(ы) 

    Введение
    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИКО- МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ИССЛЕДОВАНИЮ ИНФЛЯЦИИ
    1.1 Понятие инфляции, ее показатели и их сравнительный анализ
    1.2 Динамика доходов государства, состояния госбюджета, валютных резервов страны и инфляции
    1.3 Связь темпов инфляции с номинальной ставкой процента
    ГЛАВА 2. АНАЛИЗ И ОЦЕНКА ИНФЛЯЦИИ В РОССИИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ
    2.1 Инфляционный налог и сеньораж
    2.2 Влияние нефтяных шоков на курс рубля
    2.3 Анализ влияния темпов инфляции на уровень потребительских цен
    Заключение
    Список использованных источников 43
  • Дипломная работа:

    ЧАСТИЕ ГЛУТАМАТНЫХ NMDA-РЕЦЕПТОРОВ В РЕГУЛЯЦИИ ПРОДУКЦИИ ИЛ-10 И ФНОа Т-ЛИМФОЦИТАМИ ПРИ РАССЕЯННОМ СКЛЕРОЗЕ

    67 страниц(ы) 

    ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 4
    ВВЕДЕНИЕ 5
    ГЛАВА 1. ПАТОГЕНЕЗ РАССЕЯННОГО СКЛЕРОЗА 9
    1.1 Эпидемиология и этиология рассеянного склероза 9
    1.2 Иммунопатогенез рассеянного склероза 11
    1.2.1 Роль провоспалительного цитокина ФНОа в иммунопатогенезе рассеянного склероза 17
    1.2.2 Участие противовоспалительного цитокина ИЛ-10 в иммунопатогенезе рассеянного склероза 18
    1.3 Глутаматные рецепторы NMDA-подтипа и рассеянный склероз 22
    ГЛАВА 2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 27
    2.1. Материалы исследования 27
    2.1.1 Объект исследования 27
    2.1.2 Клинико-демографическая характеристика доноров 27
    2.2. Методы исследования 28
    2.2.1 Забор крови/биоматериала 28
    2.2.2 Выделение лимфоцитов периферической крови 28
    2.2.3 Культивирование лимфоцитов периферической крови 29
    2.2.4 Количественное определение цитокинов с помощью иммуноферментного анализа 30
    2.2.5 Выделение суммарной РНК 30
    2.2.6 Синтез комплиментарной ДНК (кДНК) с помощью РНК-зависимой ДНК- полимеразы 31
    2.2.7 Количественная полимеразная цепная реакция с обратной транскрипцией (ОТ-ПЦР) в режиме реального времени 32
    2.2.8 Статистическая обработка результатов исследования 33
    ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ 34
    3.1 Влияние блокады NMDA-рецепторов на экспрессию мРНК гена TNFAT- клетками здоровых и больных доноров
    3.2 Вовлеченность NMDA-рецепторов в регуляцию продукции провоспалительного цитокина ФНОа Т-клетками здоровых доноров и больных РС
    3.3 Эффект блокады NMDA-рецепторов на экспрессию мРНК гена CSIF в Т- клетках, полученных от здоровых лиц и больных РС
    3.4 Роль NMDA-рецепторов в регуляции продукции ИЛ-10 здоровых доноров и лиц, больных РС
    ГЛАВА 4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ «БИОЛОГИЯ» 34
    4.1. Значение биологического образования 34
    4.2. Анализ программ и учебников по реализации материалов ВКР 35
    4.3. Разработка урока по теме: «Кровь и остальные компоненты внутренней среды организма» для 8 класса 40
    4.4. Применение логико-смысловой модели в образовательном процессе (педагогические методы) 46
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
    ВЫВОДЫ 50
    СПИСОК НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 52
    ПРИЛОЖЕНИЕ 63

Не нашли, что искали?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня

Другие работы автора
  • Дипломная работа:

    Художественно-творческий потенциал школьников на уроках музыки

    78 страниц(ы) 

    Ведение….3
    Глава I.Теория и практика развития творческого мышления детей младшего школьного возраста
    1.1.Художественно-творческий потенциал ребёнка и развитие личности….….8
    1.2.Творческая деятельность учащихся в практике музыкального воспитания….20
    Глава II.Педагогические условия развития творческого потенциала на уроках музыки
    2.1.Содержание, формы и методы художественно-творческого развития младших школьников на уроках музыки….32
    2.2.Опытно-экспериментальная работа….47
    Заключение….…63
    Список используемой литературы….64
    Приложение…67
  • Дипломная работа:

    Формирование у учащихся грамматических навыков посредством интерактивных технологий на уроках французского языка

    88 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ 7
    1.1. Технология обучения как дидактическое понятие 7
    1.2. Интерактивные технологии обучения иностранному языку 15
    Выводы по главе I 25
    ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ГРАММАТИЧЕСКИХ НАВЫКОВ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ 27
    2.1. Цели и содержание обучения грамматической стороне речи в соответствии с требованиями ФГОС и программ для основной школы 27
    2.2. Технологии формирования грамматических навыков 33
    2.3. Интерактивные технологии обучения грамматике 42
    Выводы по главе II 52
    ГЛАВА 3. АПРОБАЦИЯ ИНТЕРАКТИВНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ГРАММАТИЧЕСКИХ НАВЫКОВ НА УРОКАХ ФРАНЦУЗСКОГО ЯЗЫКА 54
    3.1. Обучение грамматической стороне речи по УМК «L’oiseau bleu» 54
    3.2. Результаты апробации интерактивных технологий обучения грамматике 60
    Выводы по главе III 67
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 70
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 73
    ПРИЛОЖЕНИЯ 79
  • Дипломная работа:

    Р.Хәмид драматургиясендә милли тормыш картинасын тудыру чаралары

    54 страниц(ы) 

    I. Кереш. 3
    II. Төп өлеш.6
    1 бүлек. Ризван Хәмид драматургиясендә милләт язмышы проблемасы
    1.1. “Хан кызы” тарихи драмасында милләт язмышы мәсьәләсе. 6
    1.2. Р.Хәмиднең “гаилә драмаларында” милләт язмышы проблемасын сурәтләү үзенчәлеге. (“Олы юлның тузаны”, “Җиде баҗа”, “Ак тамырлар иле” әсәрләре мисалында). 14
    2 бүлек. Р.Хәмид драматургиясендә милли тормыш картинасын тудыру чаралары. 30
    III. Методик бүлек
    Драматург Ризван Хәмиднең тормыш юлы һәм иҗаты (ХI сыйныфта
    дәрес)….…. 40
    IV. Йомгак. 49
    V. Библиография. 52
  • Курсовая работа:

    Семантика и структура производных этимологического гнезда с вершиной gordgerd в русском языке

    23 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ….….3
    ГЛАВА I. ЭТИМОЛОГИЯ И КРУГ ЕЕ ПРОБЛЕМ….…5
    1.1. Этимология и ее определения….…5
    1.2. Синкретизм значений первых слов. Взгляды А.А. Потебни и Б.А. Ларина….7
    1.3. Словообразовательное гнездо и его признаки….….9
    1.4. Этимологическое гнездо…13
    ГЛАВА II. СЕМАНТИКА И СТРУКТУРА ПРОИЗВОДНЫХ ЭТИМОЛОГИЧЕСКОГО ГНЕЗДА С ВЕРШИНОЙ *GORD\GERD В РУССКОМ ЯЗЫКЕ….17
    2.1. Фонетические и семантические процессы, связанные с судьбой слов анализируемой корневой вершины в славянских языках и их диалектах.17
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ….22
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ….23

  • Дипломная работа:

    Развитие творческих способностей младших школьников средствами музыкального искусства

    97 страниц(ы) 

    Введение…. 3
    Глава I. Теоретические аспекты процесса развития творческих способностей младших школьников средствами музыкального искусства в условиях учреждений дополнительного образования.
    1.1.Понятие творческих способностей: комплексный подход к изучению….9
    1.2. Учет психолого-педагогических особенностей младших школьников в процессе развития творческих способностей … 37
    1.3. Потенциал учреждений дополнительного образования в развитии творческих способностей младших школьников….… 51
    Выводы по I главе….… 61
    Глава II. Педагогические условия развития творческих способностей младших школьников на базе детской вокальной студии.
    2.1 Диагностика развития творческих способностей младших школьников в детской вокальной студии «Тылсым»…. 65
    2.2 Организация и результаты опытно-экспериментальной работы по развитию творческих способностей учащихся в детской вокальной студии…. 71
    2.3 Методические рекомендации по развитию творческих способностей детей для начинающих преподавателей учреждений культуры и искусства. 81
    Выводы по I I главе….….89
    Заключение….….91
    Список использованной литературы….93
  • Дипломная работа:

    БашҠорт телендӘ неологизмдарҘыҢ структур-семантик ҮҘенсӘлектӘре ҺӘм уларҘы мӘктӘптӘ уҠытыу

    70 страниц(ы) 

    Инеш….….….…3
    Беренсе бүлек. Башҡорт тел ғилемендә ҡулланылышы
    сикле булған лексиканың өйрәнелеү тарихы….….8
    Икенсе бүлек. Хәҙерге башҡорт телендәге
    неологизмдарҙың структур семантик үҙенсәлектәре….35
    2.1. Тамыр һүҙҙәр.35
    2.2. Яһалма һүҙҙәр.39
    2.3. Ҡушма һүҙҙәр.41
    Өсөнсө бүлек. Неологизмдарҙы мәктәптә
    уҡытыу үҙенсәлектәре.48
    Йомғаҡлау….….….59
    Ҡулланылған әҙәбиәт….63
  • Дипломная работа:

    Роман у.м.теккерея «ярмарка тщеславия» как источник формирования социокультурной компетенции изучающих английский язык

    114 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ… 4
    ГЛАВА I. ПОНЯТИЕ ЛЕКСИКИ С НАЦИОНАЛЬНО-КУЛЬТУРНОЙ СЕМАНТИКОЙ КАК ИСТОЧНИКА ФОРМИРОВАНИЯ СОЦИОКУЛЬТУРНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ У ОБУЧАЮЩИХСЯ….10
    1.1. Понятие социокультурной компетенции…. 10
    1.2. Лингвострановедческая компетенция как составляющий элемент социокультурной компетенции….14
    1.3. Социолингвистическая компетенция как составляющий элемент социокультурной компетенции….23
    1.4. Социально-психологическая компетенция как составляющий элемент социокультурной компетенции….26
    1.5. Культурологическая компетенция как составляющий элемент социокультурной компетенции….28
    ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ I… 31
    ГЛАВА II. ЛЕКСИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ РОМАНА У.М. ТЕККЕРЕЯ «ЯРМАРКА ТЩЕСЛАВИЯ» С ПОЗИЦИИ СОЦИОКУЛЬТУРОЛОГИИ…34
    2.1. Роман У.М. Теккерея «Ярмарка тщеславия» как отражение национальной культуры Англии XIX века…. 34
    2.2. Реалии в романе У.М. Теккерея «Ярмарка тщеславия»…. 37
    2.3. Коннотативная лексика в романе У.М. Теккерея «Ярмарка тщеславия»….51
    2.4. Фоновая лексика в романе У.М. Теккерея «Ярмарка тщеславия».53
    ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ II…. 56
    ГЛАВА III. СОЦИОКУЛЬТУРНАЯ КОМПЕТЕНЦИЯ КАК ОСНОВНОЙ ЭЛЕМЕНТ ФОРМИРОВАНИЯ ИНОЯЗЫЧНОЙ КОММУНИКАТИВНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ…59
    3.1. Методы формирования социокультурной компетенции в процессе иноязычного обучения….59
    3.2. Элективный курс «Английская культура в романе У.М. Теккерея «Ярмарка тщеславия»…66
    ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ III… 75
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ… 77
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ… 80
    ПРИЛОЖЕНИЕ 1…. 87
    ПРИЛОЖЕНИЕ 2…. 114
  • Курсовая работа:

    Аудит дебиторской и кредиторской задолженности ООО

    50 страниц(ы) 

    Введение 2
    1 Методы управление кредиторской и дебиторской задолженностью. Их классификация 4
    1.1Классификация кредиторской и дебиторской задолженности 4
    1.2 Методы управление кредиторской и дебиторской задолженностью 5
    2 Анализ финансовой устойчивости предприятия на примере ООО “Пинта” 13
    2.1 Общая Характеристика ООО “Пинта” 13
    2.2 Анализ дебиторской и кредиторской задолженности и их влияние на финансовую устойчивость предприятия 16
    2.3 Влияние дебиторской и кредиторской задолженности на финансовое состояние ООО «Пинта». 23
    3 Пути совершенствования системы управления дебиторской и кредиторской задолженностью на ООО «Пинта». 27
    Расчетная (практическая) часть 34
    Список использованной литературы 44
  • Дипломная работа:

    Методика воспитания скоростной выносливости в единоборствах

    53 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ….….3
    Глава I Обзор литературы по теме исследования….….….….5
    1.1.Кикбоксинг как разновидность единоборства. 5
    1.2. Развитие выносливости и других физических качеств в кикбоксинге….….…6
    1.3. Выносливость и основы методики ее воспитания…. 17
    Глава II. Методы и организация исследования.32
    2.1. Методы исследования …. 32
    2.2.Организация исследования….…. 35
    Глава III. Результаты исследования и их обсуждение…40
    3.1 Данные собственных наблюдений….….….42
    3.2. Обсуждение полученных результатов….….…45
    ВЫВОДЫ ….….…50
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ИСТОЧНИКОВ.….….51
  • Дипломная работа:

    Методическое обеспечение лекционных занятий по теме «линейная алгебра и векторные пространства»

    255 страниц(ы) 

    Введение….
    Часть I. Лекция 1. …
    Тема 1. Матрицы ….….
    1.1. Понятие матрицы, действия над матрицами….
    1.2. Свойства операций умножения и сложения матриц….
    Лекция 2…
    1.3. Обратимые матрицы….
    1.4. Элементарные матрицы….
    1.5. Вычисление обратной матрицы….
    Лекция 3,4,5….
    Тема 2. Векторные системы….….
    2.1. Определение векторного пространства….
    2.2. Арифметическое n-мерное векторное пространства….
    2.3. Линейная зависимость и независимость системы векторов….
    2.4. Эквивалентные системы векторов….
    2.5. Понятие базиса системы векторов….
    2.6. Ранг конечной системы векторов…
    Лекция 6,7 .….
    2.7. Системы линейных уравнений (СЛУ) ….
    2.8. Равносильные СЛУ. Элементарные преобразования систем уравнений….
    2.9. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы….
    2.10. Ступенчатые матрицы…
    Лекция 8,9,10 .…
    2.11. Метод Гаусса….
    2.12. Критерий совместности неоднородной системы линейных уравнений (Теорема Кронекера-Капелли) …
    2.13. Связь между решениями неоднородной с.л.у. и решениями ассоциированной с ней однородной с.л.у….
    2.14. Теоремы о следствиях линейных уравнений….
    Лекция 11,12 .….
    2.15. Фундаментальная система решений о.с.л.у….
    2.16. Понятие транспонированной матрицы….
    2.17. Условия обратимости матрицы….
    ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
    Лекция 13,14,15…
    Тема 3. Алгебры и алгебраические операции….….…
    3.1. Бинарные операции. N-местные операции….
    3.2. Нейтральные элементы, регулярные, симметричные….
    3.3. Аддитивная и мультипликативная форма записи….
    3.4. Понятие алгебры….
    3.5. Гомоморфизмы алгебры….
    Тема 4. Группы, кольца, поля….….
    4.1. Понятие группы…
    4.2. Понятие подгруппы….
    4.3. Гомоморфизмы групп….
    4.4. Кольца…
    4.5. Простейшие свойства колец…
    4.6. Критерий подкольца….
    4.7. Поля…
    Лекция 16 .….
    4.8. Подстановки….
    4.9. Четные и нечетные подстановки….
    4.10. Знак подстановки…
    Лекция 17,18,19…
    Тема 5. Поле комплексных чисел….…
    5.1. Комплексное расширение поля….
    5.2. Поле комплексных чисел….
    5.3. Понятие сопряженного числа….
    5.4. Модуль комплексного числа….
    5.5. Геометрическое представление комплексных чисел…
    5.6. Тригонометрическая форма комплексного числа….
    5.7. Корни n-й степени из 1….
    5.8. Корни n-й степени из произвольного комплексного числа….
    Лекция 20,21,22 ….
    Тема 6. Определители….
    6.1. Определение определителя….
    6.2. Свойства определителей….
    6.3. Определители второго и третьего порядков….
    6.4. Миноры и их алгебраические дополнения….
    6.5. Вычисление определителей….
    Лекция 23 ….….
    6.6. Определитель произведения матриц….
    6.7. Формула обратной матрицы…
    Лекция 24 ….….
    6.8. Правило Крамера….
    ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2….
    Приложение 1. Определение системы натуральных чисел….
    Приложение 2. Метод математической индукции….
    Часть II . Лекция 25,26….
    Тема 7. Векторное пространство над данным полем …
    7.1. Определение векторного пространства ….
    7.2. Свойства векторных пространств….
    7.3. Понятие подпространства векторного пространства…
    7.3.(а) Свойства подпространств…
    7.3.(б) Линейная оболочка множества векторов. Понятие подпрост-ранства векторного пространства….….
    7.4. Сумма подпространств…
    7.5. Базис и размерность векторного пространства V над полем F…
    7.6. Дополнение независимой системы векторов до базиса векторного пространства…
    Лекция 27,28,29….
    7.7. Размерность векторного пространства. Свойства размерности….
    7.8. Связь между различными базисами векторного пространства…
    7.9. Связь между координатами векторами вектора в различных базисах…
    7.10. Изоморфизм векторных пространств….
    7.11. Свойства изоморфизмов векторных пространств….
    7.12. Векторные многообразия. Свойства…
    7.13. Множество решений системы линейных уравнений как векторное многообразие…
    ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1…
    Лекция 30,31,32….
    Тема 8. Линейные отображения…
    8.1. Определение линейного отображения…
    8.2. Свойства линейных операторов….
    8.3. Ядро и базис линейного оператора….
    8.4. Операции над линейными операторами….
    8.5. Матрица линейного оператора…
    8.6. Связь между координатами вектора и его образа ….
    8.7. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов….
    Лекция 33,34,35….
    8.8. Инвариантные подпространства линейного оператора…
    8.9. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора….
    8.10. Способ нахождения собственных векторов…
    8.11. Собственные подпространства….
    8.12. Операторы с простым спектром…
    8.13. Условия, при которых, матрица линейного оператора подобна диагональной…
    Лекция 36,37…
    8.14. Понятие о линейной алгебре…
    8.15. Алгебра кватернионов как пример линейной алгебры….
    8.16.Алгебра линейных операторов векторного пространства V над
    полем F….…
    8.17. Алгебра линейных операторов (End V) как пример линейной алгебры ….
    8.18. Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры.…
    Лекция 38,39,40,41….
    Тема 9. Евклидовы векторные пространства…
    9.1. Векторные пространства со скалярным произведением….
    9.2. Ортогональная система векторов…
    9.3. Процесс ортогонализации…
    9.4. Ортогональное дополнение к подпространству…
    9.5. Евклидовы пространства….
    9.6. Ортонормированный базис….
    9.7. Изоморфизм евклидовых пространств. Свойства изоморфизмов евклидовых пространств….
    ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2…
    Заключение….
    Литература…