У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

«Применение теории чисел к решению математических задач» - Дипломная работа
- 88 страниц(ы)
Содержание
Введение
Выдержка из текста работы
Заключение
Список литературы

Автор: navip
Содержание
Введение 3
Глава 1. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА 4
1.1. Простые и составные числа 5
1.2. Каноническое разложение натурального числа 9
1.3. НОД и НОК 10
1.4. Количество делителей натурального числа 16
1.6. Факториал натурального числа 21
1.7. Деление с остатком 23
1.8. Алгоритм Евклида 25
Глава 2. СРАВНЕНИЯ 38
2.1. Задачи на деление чисел без остатка 39
2.2. Задачи на деление чисел с остатком 39
2.3. Общий признак делимости чисел 41
2.4. Малая теорема Ферма 41
Глава 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 61
3.1. Метод прямого перебора 61
3.2. Использование неравенств 61
3.3. Выделение целой части 61
3.4. Метод остатков 62
3.5. Метод «спуска» 62
3.6. Метод разложения на множители 64
3.7. Способ группировки 65
Заключение 86
Литература 87
Введение
Наука арифметика зародилась в глубокой древности, и является старейшей отраслью математики. Научным обобщением арифметики является теория чисел. Интерес к теории чисел был высок во все времена, а результатами теории чисел и арифметики, полученными древними учеными, активно пользуются и в сегодняшнее время. В середине ХХ века и ХХI веке существенно изменилась роль теории чисел. Если в предыдущие три века она была красивейшим разделом математики, привлекавшим внимание лучших математиков своего времени, таких как Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Риман, Гильберт, то с появлением компьютеров теория чисел нашла многочисленные приложения при обработке, передаче и защите информации, представимой в числовом виде. Поэтому в школьный курс математики вошли некоторые разделы теории чисел, ранее не изучавшихся, например: алгоритм Евклида и решение уравнений в целых числах. Задачи теории чисел из школьного курса входили в олимпиады и вступительные экзамены лучших ВУЗов страны, а сегодня представлены в ЕГЭ в виде задачи С6.
В каждой главе кратко излагается теоретический материал, необходимый для понимания задач. Также приводится ряд задач с подробным решением.
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов, интересующихся точными науками. Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Выдержка из текста работы
Глава 1. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Пусть n – целое число ( n ∈ Z ), m – натуральное число ( m∈ N) . Говорят, что n делится на m, если существует целое число p( p∈Z ) такое, что
n = mр.
Число m, называется делителем числа n,p- частным от деления a на m.
Наибольшее натуральное число, являющееся натуральным делителем каждого из натуральных чисел m и n, называют наибольшим общим делителем этих чисел и обозначают НOД (m,n) или просто (m,n).
Например, если m= 36 и n= 84, то НOД(36,84) = 12.
Два натуральных числа m и n называют взаимно простыми и пишут (m,n)= 1, если единственным общим натуральным делителем этих чисел является число единица.
Например, числа 12 и 35 взаимно просты, так как натуральными делителями числа 12 являются числа 1,2,3,4,6, а натуральными делителями числа 35 являются числа 1,5,7.
Перечислим свойства делимости суммы (разности) и произведения чисел, считая, что a ∈ Z ,b ∈ Z ,m ∈ N .
1. Если a и b делятся на m, то числа a+b и a-b также делятся на m.
2. Если a и b делятся на m, то при любых целых числах k и l число ak+ bl также делится на m.
3. Если a делится на m , а b не делится на m , то числа a+b и a-b также не делятся на m.
4. Если a делится на m, а m делится на k ∈ N , то число a также делится на k.
5. Если a делится на m, а b не делится на m , то число ab делится на m.
6. Если a делится на каждое из чисел m и k, причем (m,k )= 1, то a делится на произведение mk.
7. Если a делится на m, то ak делится на mk при любом k ∈ N.
8. Если ab делится на m и b взаимно просто с m, то a делится на m.
Ограничимся доказательством свойства 1.
Доказательство. Если целые числа a и b делятся на m, то существуют числа p ∈ Z и q ∈ Z такие, что a = mp,b =qm .
Отсюда следует, что
a + b = mp + mq = ( p + q)m ,
a - b= mp- mq= ( p- q)m .
Так как числа p+ q и p- q – целые, то числа a+ b и a- b делятся на m. Свойство доказано.
Пример 1. Натуральное число 3n + 2 и 8n + 3 делятся на натуральное число p ≠ 1. Найти p.
Решение. Так как числа 3n + 2 и 8n + 3 делятся p, то и число
8 ∙ (3n + 2) - 3(8n + 3) = 7
должно делиться на p. Но единственное натуральное число p ≠ 1, на которое делится 7, равно 7. Значит p = 7. Например, при n = 4 получаем числа 14 и 35, которые делятся на 7.
Ответ: p = 7.
1.1. Простые и составные числа
Натуральное число p называется простым, если p> 1 и p не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p.
Из определений легко следует, что если p и p_1 – простые числа и p делит p_1, то p= p_1. Кроме того, для любого натурального числа его наименьший отличный от единицы положительный делитель является простым числом.
Натуральное число n> 1 называется составным, если n имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от 1 и n.
Число 1 не считается ни простым, ни составным.
Пример 2. Доказать, что число a= 4 ∙〖16〗^(12 )- 2^40 делится на 33.
Решение. Так как 4 ∙〖16〗^(12 )= 2^4∙ 4^48 = 2^50,
то
a = 2^50- 2^40 = 2^40 (2^10 -1) =
= 2^40 (2^5 -1)(2^5 +1) = 2^40 ∙ 32 ∙ 33,
откуда следует, что a делится на 33.
Пример 3. Доказать, что число a = 8n^2 + 10n + 3 является составным при любом натуральном n.
Решение. Число a является составным при любом натуральном n, поскольку a = 8n^2 + 10n + 3 = (2n + 1)(4n + 3) , где числа 2n +1 и 4n + 3 натуральные, большие единицы.
Пример 4. Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?
Решение. Пусть искомое число n= p_1 ∙ p_2∙…∙p_k ,где p_1 ,p_2,…,p_k- простые числа и p_1< p_2<⋯< p_k. Так как n делится на каждое из чисел p_1-1 ,p_2-1,…,p_k-1, а они все, кроме возможно числа p_1-1, - четные. Это значит, что среди сомножителей p_1 ,p_2,…,p_k присутствует число 2, т.е.
p_1= 2.
Тогда n = 2 ∙ p_2,…,p_k.
Рассмотрим число p_k-1= 2q_k .
По условию число 2q_k делит n = 2 ∙ p_2,…,p_k. Это значит, что q_kявляется делителем числа p_2∙…∙p_(k-1). Это возможно, если q_k есть некоторое число или произведение некоторого набора чисел из набора
p_2,…,p_(k-1.)
Учитывая это условие и то, что число n_1 = 2 ∙ p_2,…,p_(k-1) обладает тем же свойством, что и число n, получаем способ получения искомых произведений: на каждом этапе следующий множитель〖 p〗_(k )оп-ределяется набором множителей
2 ,p_2,…,p_(k-1.)
Поэтому будем строить искомые произведения начиная с двух сомножителей.
Пусть k = 2 . Тогда n = 2 ∙p_2 Учитывая, что p_2-1 = 2q_2 и 2q_2 делит число 2, получаем q_2=1. Тогда p_2 = 3 и n = 2 ∙3 = 6.
Пусть k = 3 . Тогда n = 2∙3∙p_3. Учитывая, что p_3-1 = 2q_3 и 2q_3 делит число 2∙3, получаем q_3 = 3.
Тогда p_3 = 7 и n = 2 ∙ 3 ∙ 7 = 42 .
Пусть k = 4 . Тогда n = 2∙3∙〖7∙p〗_4. Учитывая, что p_4-1 = 2q_4 и 2q_4 делит число 2∙3∙7, получаем возможные значения q_4 = 3 или q_4 = 7, или q_4 = 3 ∙ 7 = 21 . Тогда p_4= 7 (уже есть такой множитель) или p_4 = 15 (не простое число), или p_4=43.
Тогда n=2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 43 =1806.
Пусть k=5 . Тогда n=2∙3∙〖7∙43∙p〗_4. Учитывая, что p_5-1 =2q_5 и 2q_5 делит число = 2∙3∙7 ∙ 43, получаем возможные значения q_5 и p_5:
q_5 = 3,p_5 = 7 (такой множитель есть);
q_5 = 7,p_5 = 15 (не простое число);
q_5= 3 ∙ 7 ,p_5= 43 (такой множитель есть);
q_5 = 43 ,p_5 = 87 (не простое число, делится на 3);
q_5 = 3 ∙ 43,p_5 = 257 (не простое число, делится на 7);
q_5 = 7 ∙ 43,p_5 = 603 (не простое число, делится на 3);
q_5=3∙7∙43,p_5 =1807 (не простое число, делится на 13).
Следовательно, искомого произведения из пяти сомножителей не существует, а значит не существует подобных произведений и с большим числом сомножителей.
Ответ: 6,42,1806.
Теорема 1 (Евклида). Множество положительных простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим, что множество положительных простых чисел конечно и состоит из чисел p_1 ,p_2,…,p_k.
Рассмотрим число p= p_1∙ p_1 ∙ .∙ p_1+1 .
Тогда либо натуральное число p, большее единицы, само является простым, либо оно разложимо в произведение положительных простых чисел и поэтому обладает хотя бы одним простым делителем. По предположению p не может быть простым, так оно не совпадает ни с одним из чисел p_1 ,p_2,…,p_k. Если же p разложи мо, то его делитель должен быть отличен от чисел p_1 ,p_2,…,p_k. так как в против ном случае этот делитель делит числа p_1∙ p_1 ∙ .∙ p_1 и p, а значит делит и разность 〖p-p〗_1∙ p_1 ∙ .∙ p_1= 1, а это невозможно.
Следовательно, простых чисел бесконечно.
Простые числа, хотя их и бесконечно много, составляют небольшую часть всех натуральных чисел, что выражается следующей теоремой.
Теорема 2. Для любого целого числа k ≥ 1 в натуральном ряду можно найти k составных чисел, непосредственно следующих друг за другом.
Доказательство. Возьмем число n = (k +1)! и рассмотрим k следующих друг за другом чисел
n_1 = n + 2,n_2 =n + 3,.,n_k= n + (k +1) .
Каждое число в этом списке является составным, так как n_1 делится на 2, n_2- на 3, n_3- на 4, . , n_k- на k +1. Теорема доказана.
Теорема 3. Если произведение нескольких натуральных чисел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей.
Доказательство. Возьмем канонические разложения входящих в произведение натуральных чисел. Так как произведение этих чисел делится на простое число, то это простое число должно присутствовать хотя бы в одном каноническом разложении множителей. Следовательно, на это число делятся все множители, в каноническом разложении которых присутствует это число. Теорема доказана.
1.2. Каноническое разложение натурального числа
Представление натурального числа n в виде произведения двух натуральных чисел ab называется разложением на множители. Представление числа в виде произведения простых чисел называется разложением на простые множители. Считается, что если n - простое число, то оно имеет разложение на простые множители, состоящее из одного числа n.
Два разложения на множители называются одинаковыми, если они отличаются только порядком множителей. Например, разложения
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7 и 42 = 7 ∙2∙ 3
считаются одинаковыми.
Теорема 4 (основная теорема арифметики). Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители.
Это значит, что для любого натурального числа два разложения на простые множители могут отличаться только порядком этих множителей.
Каноническим разложением целого числа n > 1 называется представление n в виде
n =P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S ), (1)
где p_1,p_2,.,p_s - попарно различные простые числа, а k_1,k_2,.,k_s - натуральные числа. Для отрицательных целых чисел n < -1 каноническим разложением считается представление в виде n =- P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S ) .
Пусть число p - наименьший среди простых делителей p_1,p_2,.,p_s. Тогда
n =P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S )≥P^2.
Отсюда, p ≤√n . Следовательно, если n - составное число, то оно имеет простой делитель p такой, что p ≤√n. Если число n не имеет простых делителей, не превосходящих √n , то n - простое число.
Пример 5. Сколько существует способов разложения числа
n = P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S )
в произведение двух взаимно простых множителей?
Решение. Пусть имеется разложение n = n_1∙n_2, где числа n_1 и n_2- взаимно просты, т.е. (n_1,n_2) = 1. Это будет возможно в случае, когда эти числа не содержат ни одного общего множителя p_i (1 ≤ i ≤s ). Поэтому искомое количество способов разложения будет равно количеству способов разбиения множества чисел {p_1,p_2,.,p_s} на две непересекающиеся группы.
Рассмотрим строчки ⏟(( , ,.,))┬(S позиций) в которых в i -й позиции стоит 1, если p_i входит в множитель n_1, и 0, если p_(i )входит в множитель n_2. Для заполнения каждой позиции имеется 2 способа. Всего s позиций. Две позиции можно заполнить 2∙ 2 = 2^2 способами, три - 2∙ 2∙ 2 = 2^3 и т.д. Соответственно, всего имеется 2^s различных строчек. Исключая строчки из одних 1 (в этом случае n_1= n ) и одних 0 (в этом случае n_2 = n), получаем искомое число, равное 2^s - 2 .
Ответ: 2^s - 2.
1.3. НОД и НОК
Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел a_1,a_2,.,a_n называется наибольшее натуральное число, на которое делятся данные числа. Наименьшим общим кратным (НОК) - наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из этих чисел. Наибольший общий делитель чисел a_1,a_2,.,a_n обозначают (a_1,a_2,.,a_n ), а наименьшее общее кратное - [a_1,a_2,.,a_n ]. В частности, (a,b)- НОД чисел a и b, а [a,b] - НОК этих чисел.
Отметим, что
НОД (a; b) = НОД (a; a + b);
НОД (a; b) = НОД (a; a - b).
Числа a_1,a_2,.,a_n называются взаимно простыми, если (a_1,a_2,.,a_n )= 1 и попарно взаимно простыми, если любые два из них взаимно просты, т.е. (a_i,a_j ) = 1 при i ≠ j. Попарно взаимно простые числа являются взаимно простыми (в совокупности). Обратное утверждение неверно, как показывает следующий пример: числа
n_1 = 3 ,n_2= 2 ∙ 3 ,n_3= 2 ∙ 5 и n_4= 3 ∙ 5
не являются взаимно простыми, а (n_1,n_2,n_3,n_4) = 1.
Отметим, что
Если целые числа a и b взаимно просты, то их сумма a+ b и произведение ab также являются взаимно простыми числами.
Если целые числа a и b являются взаимно простыми, то
НОД (a + b; a- b) = 1
или
НОД (a + b; a- b) = 2.
Доказательство. Положим НОД (a + b; a- b) = d .
Тогда (a+ b) | d, (a - b) | d. Следовательно, сумма и разность чисел a+ b и а - b, равные соответственно 2a и 2b делятся на d. Но числа a и b по условию взаимно просты, поэтому 2 делится на d∶ 2 | d. Отсюда d = 1 или d = 2. Оба эти случая возможны. Действительно, d = 1, если числа a и b разной четности, и d = 2, если они нечетны.
Любые два последовательных натуральных числа взаимно просты.
Наибольший общий делитель любых двух последовательных четных натуральных чисел равен 2.
Любые два последовательных нечетных натуральных числа взаимно просты.
Если целые числа a и b являются взаимно простыми, то
НОД (a + b; a^2 - ab + b^2)
равен 1 или 3.
Если натуральные числа m и n взаимно просты, то
НОД (m + n; m^2 + n^2)
равен 1 или 2.
Доказательство. Пусть d - общий делитель чисел m + n и m^2 + n^2. Тогда на d делится также число (m + 〖n)〗^2, а значит, и число
(m + 〖n)〗^2-m^2 + =2mn.
Итак, d является общим делителем чисел m + n и 2mn. Но m + n и m не могут иметь общих делителей, отличных от 1 (так как m и n взаимно просты), и тоже справедливо для чисел m + n и n. Следовательно, d является делителем числа 2, т.е. d = 1 или d = 2.
Теорема 5. Пусть n - натуральное число и n =P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S )- его каноническое разложение на простые множители. Тогда каждый натуральный делитель d числа n может быть записан в виде
d = P_1^(M_1 )∙P_2^(M_2 )∙…∙ P_S^(M_S ),
где M_I - целые числа, удовлетворяющие условиям
0≤ M_1 ≤ K_1,.,0 ≤ M_S≤ K_S.
Доказательство. Пусть d - какой- либо делитель натурального числа n. Так как каждый простой делитель числа d является делителем числа n, тогда в разложении d на простые множители могут встречаться только числа из множества {p_1,p_2,.,p_s }. Поэтому число d представимо в виде
d = P_1^(M_1 )∙P_2^(M_2 )∙…∙ P_S^(M_S ).
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть даны два натуральных числа a и b, а p_1,p_2,…,p_s-
простые числа, входящие в канонические разложения a и b. Представим числа a и b в виде
a= P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S ) и
b= P_1^(M_1 )∙P_2^(M_2 )∙…∙ P_S^(M_S )
где M_I≥ 0,K_I ≥0 -целые числа. Тогда
(a b)= p_1^min(k_1∙m_1 ) ∙p_2^min(k_2∙m_2 ) ∙〖… ∙p〗_s^min(k_s∙m_s ) ,
[a b]= p_1^max(k_1∙m_1 ) ∙p_2^max(k_2∙m_2 ) ∙〖… ∙p〗_s^max(k_s∙m_s ) .
Например, пусть a = 2^3∙〖3 〗^2∙ 7,b = 2^4∙ 3 ∙ 5^2∙11. Запишем их в виде a = 2^3∙〖3 〗^2∙5^0 ∙7^1∙〖11〗^0,b = 2^4∙ 3^1 ∙ 5^2∙7^0∙〖11〗^1. Тогда
(a,b) = 2^3∙〖 3〗^1 = 24,
[a,b] = 2^4∙ 3^2∙ 5^2 ∙7^1 ∙〖11〗^1 = 277 200.
Замечание. Справедливо равенство (a,b) ∙ [a,b] = a ∙b.
Пример 6. Найти (5160,16920) и [5160,16920].
Решение. Напишем канонические разложения чисел 5160 и 16920:
5160 = ⏟(2∙5)┬10∙ ⏟(2∙2∙⏞(3∙43)┴129 )┬564 =2^3 ∙ 3∙ 5∙ 43,
16920 = ⏟(2∙5)┬10∙ ⏟(2∙2∙⏞(3∙47)┴423 )┬1692 = 2^3 ∙3^2 ∙ 5∙ 47.
Тогда
(5160,16920) = 2^3 ∙ 3^1∙ 5^1∙ 〖43〗^0∙ 〖47〗^0 = 120,
[5160,16920] = 2^3 ∙ 3^2∙ 5^1∙ 〖43〗^1∙ 〖47〗^1= 727560.
Ответ: 120,727560.
Существует еще один способ нахождения НОД двух чисел, называемый алгоритмом Евклида, использующий деление чисел с остатком.
Пример 7. Найти все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.
Решение. Пусть a и b - искомые числа, По условию (a,b) = 13. Значит
a = 13 ∙ a_1 и b = 13 ∙ b_1. Так как [a,b] = 78, а 78 = 6 ∙ 13 , то, используя равенство
(a,b) ∙ [a,b] = a ∙ b,
получаем a∙ b = 〖13〗^2∙a_1 ∙ b_1=〖13〗^2 ∙ 6. Отсюда получаем a_1 ∙ b_1 = 6 . Следовательно, возможны случаи a_1= 1,b = 6 и a_1= 2,b_1= 3 (или a_1 = 6,b_1 = 1 и a_1 = 3,b_1 = 2 ). Тогда получаем две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи (13,78) и (26,39).
Ответ: (13,78),(26,39).
Заключение
Работа содержит необходимый теоретический и практический материал в виде основных понятий, теорем, доказательств, решенных примеров.
Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве методического пособия по курсу алгебры и теории чисел для студентов и для подготовки к ЕГЭ учащихся 10-11 классов.
Список литературы
1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003, 176 стр. ISBN 5-93972-252-0
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с.
3. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел.- М.: Наука, 1965. -176с.
4. Михелович Ш.Х. Теория чисел. -2-е изд. - М.: Высшая школа, 1967. - 336 с.
5. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов- заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов (Н. А. Казачек,Г. Н. Перлатов, Н. Я. Виленкин, А. И. Бородин; Под ред. Н. Я. Виленкина.—2-е изд.—М.: Просвещение, 1984. 192 с.
6. Нестеренко Ю. В. Теория чисел : учебник для студ. высш. учеб. заведений / Ю. В. Нестеренко. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. - 272 с.
7. Просветов Г. И. Теория чисел: задачи и решения: Учебно-практическое пособие -М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2010. — 72 с. ISBN 978-5-94280-453-4
8. Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник-практикум по теории чисел.- М.: Просвещение, 1972
9. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел.- М , «Просвещение», 1970
Тема: | «Применение теории чисел к решению математических задач» | |
Раздел: | Математика | |
Тип: | Дипломная работа | |
Страниц: | 88 | |
Цена: | 1650 руб. |
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
- Цены ниже рыночных
- Удобный личный кабинет
- Необходимый уровень антиплагиата
- Прямое общение с исполнителем вашей работы
- Бесплатные доработки и консультации
- Минимальные сроки выполнения
Мы уже помогли 24535 студентам
Средний балл наших работ
- 4.89 из 5
написания вашей работы
-
Дипломная работа:
Изучение текстовых задач на уроках математики в начальных классах
87 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ…. 3
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ОСНОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.1.1.Роль и место текстовых задач в содержании в курсе математики в начальной школе…7РазвернутьСвернуть
1.2. Подходы к изучению текстовых задач в различных методических системах…. 17
1.3. Методическая система изучения текстовых задач в учебно-методическом комплексе «Школа России»….23
ГЛАВА II. ОПЫТНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.
2.1. Инновационный проект по изучению текстовых задач в 4 классе основанное на УМК «Школа России»…40
2.2. Этапы и содержания опытно-экспериментальной работы по использованию современных подходов к изучению текстовых задач…. ….46
2.3. Подведение итогов опытной работы и разработка методических рекомендаций для учителей начальных классов…72
ЗАКЛЮЧЕНИЕ….78
ЛИТЕРАТУРА ….81
-
Дипломная работа:
Приложения координатно-векторного метода к решению школьных задач
80 страниц(ы)
Введение….….3
Глава I. Координатный метод решение задач….5
§ 1.1. Ортонормированный репер на плоскости. Простейшие задачи в координатах….….6§ 1.2. Общее уравнение прямой. Уравнение окружности….12РазвернутьСвернуть
§ 1.3. Примеры решения задач координатным методом….….…19
Глава II. Векторный метод решения задач….….25
§ 2.1. Координаты вектора на плоскости….25
§ 2.2. Координаты вектора в пространстве….26
§ 2.3. Примеры решения задач векторным методом….31
Глава III. Координатно-векторный метод решения задач….42
§ 3.1. Нахождение угла между прямыми в пространстве….42
§ 3.2. Нахождение угла между плоскостями….….51
§ 3.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью….57
§ 3.4. Нахождение расстояния от точки до плоскости….72
§ 3.5. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.….75
Заключение….….79
Литература….….….80
-
Дипломная работа:
Новые подходы в преподавании математики
90 страниц(ы)
Введение 3
Глава 1. Теоретические основы новых подходов в обучении математики 5
§1. Новые подходы в обучении математике: общии обзор.5§2. Дифференцированный подход.8РазвернутьСвернуть
§3. Проблемный подход.11
§4. Технологический подход.16
§5. Научно - исследовательский подход.22
Глава 2. Разработка факультативных занятии на основе новых подходов 25
§1. Решение задач с параметрами.25
1. Аналитические приемы решения задач с параметрами.26
1.1 Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.26
1.2 Параметр и свойства решений уравнений, неравенств и их систем.31
2. Функционально-графические приемы при решении задач с параметрами.35
2.1 Свойства функции в задачах с параметрами.35
2.2 Координатная плоскость.44
3. Квадратичная функция.52
3.1 Теорема Виета.56
3.2 Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции.59
4. Применение производной при решении задач с параметрами.64
§2 Решение задач по теории чисел.67
1. Простые и составные числа.67
1.2 Составные числа в задачах.67
1.3 Каноническое разложение числа на простые множители.70
1.4 Формула количества делителей натурального числа n….70
1.5 Формула суммы делителей натурального числа n….….74
1.6 Деление с остатком.75
1.7 Четные и нечетные числа.78
2. Наибольший общий делитель.82
2.1 Алгоритм Евклида.82
Заключение.87
Литература.89
-
ВКР:
85 страниц(ы)
Введение 3
1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
1.1 Линейные дифференциальные уравнения 61.2 Нелинейные дифференциальные уравнения 11РазвернутьСвернуть
1.3 Асимптотические оценки и их свойства 15
1.4 Асимптотические ряды и их свойства 18
1.5 Определение и основные свойства асимптотических разложений 22
1.6 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений 24
Выводы по первой главе 25
2 Моделирование решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 26
2.1 Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 26
2.2 Нахождение численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 28
Выводы по второй главе 31
3 Методика применения компьютерное моделирование в школьном курсе информатики 32
3.1 Основные понятия и принципы компьютерного моделирования 32
3.2 Анализ элективных курсов по компьютерному моделированию в школе. 37
3.3 Элективный курс по компьютерному математическому моделированию в Maple 40
Выводы по третьей главе 55
Заключение 57
Список использованной литературы 59
Приложения 62
-
Дипломная работа:
Система подготовки выпускников к решению нестандартных задач по математике в профильных классах
68 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 9
1.1 Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 91.2 Основные типы показательных уравнений и неравенств 10РазвернутьСвернуть
1.3 Различные задачи, связанные с логарифмической функцией. 13
1.4 Метод мини-максов. 13
1.5 D-метод (дискриминантный метод). 15
Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 16
2.1 Использование понятия области определения функции 16
2.2 Использование понятий области значений функции 16
2.3 Использование свойства монотонности функции 17
2.4 Использование свойств четности или нечетности функций 18
2.5 Использование свойства периодичности функции 19
Глава 3. Решение нестандартных уравнений и неравенств 20
3.1 Решение простейших показательных уравнений и неравенств 20
3.2 Решение показательных уравнений и неравенств основных типов 21
3.3 Решение различных задач, связанных с логарифмической функцией 38
3.4 Решение уравнений методом мини-максов 41
3.5 Решение уравнений D-методом 45
3.6 Решение уравнений и неравенств, используя область определения функции 50
3.7 Решение уравнений, используя область значений функции 51
3.8 Решение уравнений и неравенств, используя свойства монотонности функции 52
3.9 Решение уравнений, используя свойства четности или нечетности функции 53
3.10 Решение уравнений и неравенств, используя свойство периодичности функции 54
3.11 Решение различных нестандартных уравнений из заданий ЕГЭ 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 59
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 60
Не нашли, что искали?
Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ
Следующая работа
Модульное обучение алгебре и началам анализа в 10 классе




-
Магистерская работа:
Средства формирования идеала женщины в башкирском фольклоре и литературе
131 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 3
ПЕРВАЯ ГЛАВА. СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ ИДЕАЛА ЖЕНЩИНЫ В БАШКИРСКОМ ФОЛЬКЛОРЕ 10
1.1. Идеал женщины в эпосах, кубаирах, сказаниях и легендах 101.2. Идеал женской красоты в башкирских сказках 31РазвернутьСвернуть
1.3. Описание женской красоты в народных песнях 38
1.4. Описание женского идеала в пословицах и поговорках 47
1.5. Фольклор как средство воспитания идеала духовной красоты 57
ВТОРАЯ ГЛАВА. СРЕДСТВА ФОРМИРОВАНИЯ ИДЕАЛА ЖЕНЩИНЫ В БАШКИРСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ 70
2.1. Женский идеал в литературе дооктябрьской революции 75
2.2. Женский идеал в литературе советского периода 88
2.3. Женский идеал в современной башкирской литературе 94
2.4. Литературный образ как средство воспитания женского идеала 104
Заключение 115
Список литературы 123
Приложение I
-
Дипломная работа:
58 страниц(ы)
Введение…. 3
ГЛАВА I. Средства художественной выразительности как объект лингвостилистических исследований1.1. Понятие лингвостилистических средств и их виды….5РазвернутьСвернуть
1.2. Взгляды ученых на классификацию стилистических выразительных средств…13
1.3. Роль лингвостилистических средств в реализации авторского замысла….16
Выводы по главе 1.
ГЛАВА II. Роль лингвостилистических средств в романе Николаса Спаркса «Дневник памяти»
2.1. Стилистические приемы как способ интерпретации сущности герое в литературе…. 21
2.2. Особенности художественного текста – личный дневник…. 23
2.3. Лингвостилистические средства в романе Николаса Спаркса «Дневник памяти»….27
Выводы по главе 2.
ГЛАВА III. Методика работы с текстом на уроках английского языка в средней школе.
3.1. Общие принципы работы с текстом на уроке английского языка…. 36
3.2. Методическая разработка внеклассного мероприятия по теме «Авторские приемы в создании образов в художественном произведении (на примере романа Н. Спаркса «Дневник памяти “The Notebook”))…41
Выводы по главе 3.
Заключение…49
Список используемой литературы
Приложение -
Магистерская работа:
Воспитательный потенциал семьи, как условие профилактики социального сиротства
210 страниц(ы)
Введение….3
Глава 1. Теория и практика организации профилактики социального сиротства в процессе социально-педагогической работы с семьей, находящейся в социально опасном положении ….….….131.1. Социальное сиротство и его профилактика как актуальная проблема современной России ….….….14РазвернутьСвернуть
1.2. Развитие воспитательного потенциала семьи, находящейся в социально опасном положении, с целью профилактики социального сиротства….….….….24
1.3. Модель развития воспитательного потенциала семей, находящихся в социально опасном положении ….….….69
Выводы по первой главе .….….….85
Глава 2. Опытно-экспериментальная проверка продуктивности модели развития воспитательного потенциала семей, находящихся в социально опасном положении….88
2.1. Логика опытно-экспериментальной работы .…88
2.2. Педагогические условия, способствующие развитию воспитательного потенциала семей, находящихся в социально опасном положении ….105
2.3. Анализ и интерпретация результатов опытно-экспериментальной работы….….133
Выводы по второй главе….….153
Заключение….….154
Список литературы….….159
Приложения .….…186
-
Дипломная работа:
Взаимосвязь психологической устойчивости и адаптации учащихся профильных классов
65 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ…
ГЛАВА I. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПСИХОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И САМООЦЕНКИ УЧАЩИХСЯ ПРОФИЛЬНЫХ КЛАССОВ
1.1Исследование психологической устойчивости в психолого-педагогических источниках….1.2. Особенности самооценки в старшем школьном возрасте….…РазвернутьСвернуть
1.3. Теоретические исследования взаимосвязи психологической устойчивости и самооценки в старшем школьном возрасте…
Выводы по Главе I…
ГЛАВА II. ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ПСИХОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И САМООЦЕНКИ В СТАРШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ
2.1. Описание выборки испытуемых и методик исследования…
2.2 . Количественные характеристики полученных данных ….
2.3. Результаты математической обработки данных и их интерпретация…
Выводы по Главе II…
Заключение….
Список литературы…
Приложение…
-
Методические указания:
Методика обучения упражнениям гимнастического многоборья
64 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ…. 3
1. ТЕРМИНОЛОГИЯ ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ… 4
2. МЕРЫ БЕЗОПАСНОСТИ ПРИ ЗАНЯТИЯХ ГИМНАСТИКОЙ…. 9
3. УПРАЖНЕНИЯ МУЖСКОГО МНОГОБОРЬЯ…. 143.1. Брусья… 14РазвернутьСвернуть
3.2. Перекладина…. 20
3.3. Акробатика…. 29
3.4. Опорные прыжки… 36
3.4.1. Конь в ширину…. 37
3.4.2. Конь в длину…. 42
4. УПРАЖНЕНИЯ ЖЕНСКОГО МНОГОБОРЬЯ…. 44
4.1. Упражнения на брусьях разной высоты… 44
4.2. Упражнения на гимнастическом бревне… 51
4.3. Акробатика…. 59
5. ЛИТЕРАТУРА… 61
-
Курсовая работа:
Особенности взаимоотношений детей в коллективе
46 страниц(ы)
Введение 3
1 Определение и основные характеристики детского коллектива 6
1.1 Понятие коллектива 6
1.2 Признаки коллектива 141.3 Структура коллектива 15РазвернутьСвернуть
1.4 Ценности коллектива 17
1.5 Формирование коллектива младших школьников в контексте педагогического взаимодействия 19
Глава 2. Развитие детского воспитательного коллектива 38
2.1 Общая картина развития коллектива 38
2.2 Стадии развития коллектива 38
2.3 Особенности развития детского коллектива 39
Заключение 43
Список использованных источников 45
-
Шпаргалка:
150 страниц(ы)
Дискретная математика
1. Основные комбинаторные объекты и числа.
2. Метод производящих функций. Бином Ньютона . Основные тождества с биномиальными коэффициентами.3. Рекуррентные соотношения. Способы решения рекуррентных соотношений. Числа Фибоначчи.РазвернутьСвернуть
4. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связные графы. Деревья. Представление графа на ЭВМ (динамические структуры данных, стеки, очереди, двоичные деревья)
Архитектура компьютера
5. Архитектура ЭВМ. Классическая архитектура ЭВМ и принцип Фон Неймана.
6. Язык программирования Ассемблер. Базовые элементы. Основные операции над регистрами.
7. Аппаратные и программные прерывания. Адресное пространство и смещение.
8. Аппаратные и программные средства обработки информации.
Информационные технологии в математике
9. Информационная технология. Этапы развития и перспективы информационных технологий.
10. Информационная емкость. Формула информационной емкости.
11. Перспективы развития информационных технологий.
12. Математический пакет Maple — среда для решения математических задач. Основы работы, команды. Построение графиков функций. Решение дифференциальных уравнений.
Исслед операций
13. Понятие одномерной и многомерной оптимизации. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума.
14. Условный экстремум: Функция Лагранжа, метод множителей Лагранжа.
15. Симплекс-метод. Преобразование симплекс таблиц на языке Pascal.
16. Двойственные задачи: симметричные и несимметричные. Двойственность в линейном программировании.
Компьютерное моделирование
17. Моделирование как метод познания. Понятие «модель». Виды моделирования в естественных и технических науках. Компьютерная модель. Информационные модели. Объекты и их связи. Основные структуры в информационном моделировании. Примеры информационных моделей. Поля, методы и свойства. Абстрактные, виртуальные, динамические и перегружаемые методы.
18. Графическое моделирование. Основы трехмерной графики. Преобразования координат. Перенос и повороты в трехмерном пространстве.
19. Понятие математического моделирования. Этапы и цели математического моделирования. Различные подходы к классификации математических моделей. Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Дескриптивные, оптимизационные, многокритериальные, игровые модели.
20. Имитационные модели и системы. Этапы построения имитационной модели. Анализ и оценка адекватности имитационной модели. Примеры имитационных моделей.
21. Моделирование стохастических систем. Общие и частные стохастические методы. Моделирование последовательностей независимых и зависимых случайных испытаний. Общий алгоритм моделирования дискретной случайной величины.
Компьютерные сети
22. Понятие о компьютерных сетях. Типы сетей. Топология. Классификация.
23. Архитектура компьютерных сетей. Семиуровневая модель OSI. Модель TCP/IP.
24. Адресация в сети Internet. Понятие сокета, как способ программного доступа к сетевым функциям.
25. Технология «Клиент-Сервер». Одноранговые и распределенные сети.
26. Протоколы и службы Internet.
Математическая логика, теория алгоритмов, теоретические основы информатики
27. Алгебра высказываний как модель алгебры Буля, ее аксиоматическое задание. Принцип двойственности и теорема двойственности.
28. Проблема разрешимости (разрешения) для класса однотипных задач. Проблема разрешимости в алгебре высказываний и способы их разрешения.
29. Высказывательные формы (предикаты). Способы их задания. Логические операции над предикатами.
30. Неформальное понятие алгоритма. Общие свойства алгоритмов. Графические средства для описания алгоритмов.
31. Формальное определение понятия алгоритма в виде машин Тьюринга. Вычисления на машинах Тьюринга. Тезис Тьюринга - Черча. Проблема самоприменимости.
32. Рекурсивные функции, рекурсивные множества. Тезис Черча. Итерация одноместных функций и доказательная база к ней.
33. Система счисления с произвольным основанием. Перевод из одной системы счисления в другую. Операции над числами в системах счисления с произвольным основанием.
34. Основные понятия теории кодирования. Оптимальный код Шеннона-Фано.
Основы искусственного интеллекта.
35. Основы теории экспертных систем. Общая характеристика ЭС. Виды ЭС и типы решаемых задач. Структура и режимы использования ЭС. Перспективы развития экспертных систем.
36. Основы теории распознавания образов. Общая постановка проблемы. Детерминированные, вероятностные, логические и структурные методы
37. Основы нейросетевых технологий. Нейроклетка - разработка формальной модели. Классы нейронных сетей. Методы обучения.
38. Базовые конструкции языка программирования Pascal.
39. Основные типы данных языка программирования Pascal и их производные.
40. Описание процедур и функции языка программирования Pascal.
41. Delphi – cреда разработки приложений для ОС Windows. Компонентная разработка приложений в среде Delphi.
42. Разработка мультимедийных приложений в среде Delphi.
Численные методы
43. Метод простой итерации при решении уравнения с одной переменной.
44. Метод простой итерации для СЛАУ.
45. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Вывод, оценка погрешности.
46. Метод трапеций для численного нахождения определенного интеграла: вывод формулы, оценка погрешности, геометрический смысл.
47. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений.
48. Метод наименьших квадратов.
Элементы абстрактной и компьютерной алгебры.
49. Теория множеств: множества и операции над множествами, основные проблемы.
50. Алгебра и алгебраические системы.
51. Группы (подгруппы), поля и кольца.
-
Дипломная работа:
70 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИСТИКА ПРАВОМЕРНОГО ПОВЕДЕНИЯ И МЕТОДЫ ЕГО ФОМИРОВАНИЯ 6
1.1 Сущность и содержание понятия «правомерное поведение» 61.2 Виды правомерного поведения 15РазвернутьСвернуть
1.3 Основные методы формирования правомерного поведения молодежи. Роль воспитательной работы в формировании правомерного поведения 26
ГЛАВА 2. СУЩНОСТЬ ОРГАНИЗАЦИИ ВОСПИТАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА В УЧРЕЖДЕНИЯХ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 35
2.1 Основы, содержание и особенности организации воспитательного процесса в системе среднего профессионального образования 35
2.2 Основные формы и методы организации воспитательного процесса в учреждениях среднего профессионального образования 52
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 62
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 65
-
Дипломная работа:
79 страниц(ы)
Введение
Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА «ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ИНФОРМАТИКЕ»
§1. Анализ программ курса «Теория и методика обучения информатик廧 2. Структура и содержание курса «Теория и методика обучения информатике»РазвернутьСвернуть
Глава II. МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ ИНФОРМАТИКИ
§1. Методические особенности реализации курса «Теория и методика обучения информатике»
§2. Комплект практических работ по курсу «Теория и методика обучения информатике»
-
Дипломная работа:
Особенности гражданско-правовой ответственности при осуществлении медицинской деятельности
54 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТИ ПО ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВУ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 81.1 Понятие и особенности гражданско-правовой ответственности в российском законодательстве 8РазвернутьСвернуть
1.2 Гражданско-правовая ответственность как форма государственного принуждения 18
ГЛАВА 2. ОСНОВАНИЕ И УСЛОВИЯ ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВОЙОТВЕТСТВЕННОСТИ ПРИ ОСУЩЕСТВЛЕНИИ МЕДИЦИНСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 26
2.1 Основания возникновения гражданско-правовой ответственности при осуществлении медицинской деятельности 26
2.2 Условия возникновения гражданско-правовой ответственности за вред, причиненный при осуществлении медицинской деятельности 33
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 49