У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

«Применение теории чисел к решению математических задач» - Дипломная работа
- 88 страниц(ы)
Содержание
Введение
Выдержка из текста работы
Заключение
Список литературы

Автор: navip
Содержание
Введение 3
Глава 1. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА 4
1.1. Простые и составные числа 5
1.2. Каноническое разложение натурального числа 9
1.3. НОД и НОК 10
1.4. Количество делителей натурального числа 16
1.6. Факториал натурального числа 21
1.7. Деление с остатком 23
1.8. Алгоритм Евклида 25
Глава 2. СРАВНЕНИЯ 38
2.1. Задачи на деление чисел без остатка 39
2.2. Задачи на деление чисел с остатком 39
2.3. Общий признак делимости чисел 41
2.4. Малая теорема Ферма 41
Глава 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 61
3.1. Метод прямого перебора 61
3.2. Использование неравенств 61
3.3. Выделение целой части 61
3.4. Метод остатков 62
3.5. Метод «спуска» 62
3.6. Метод разложения на множители 64
3.7. Способ группировки 65
Заключение 86
Литература 87
Введение
Наука арифметика зародилась в глубокой древности, и является старейшей отраслью математики. Научным обобщением арифметики является теория чисел. Интерес к теории чисел был высок во все времена, а результатами теории чисел и арифметики, полученными древними учеными, активно пользуются и в сегодняшнее время. В середине ХХ века и ХХI веке существенно изменилась роль теории чисел. Если в предыдущие три века она была красивейшим разделом математики, привлекавшим внимание лучших математиков своего времени, таких как Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Риман, Гильберт, то с появлением компьютеров теория чисел нашла многочисленные приложения при обработке, передаче и защите информации, представимой в числовом виде. Поэтому в школьный курс математики вошли некоторые разделы теории чисел, ранее не изучавшихся, например: алгоритм Евклида и решение уравнений в целых числах. Задачи теории чисел из школьного курса входили в олимпиады и вступительные экзамены лучших ВУЗов страны, а сегодня представлены в ЕГЭ в виде задачи С6.
В каждой главе кратко излагается теоретический материал, необходимый для понимания задач. Также приводится ряд задач с подробным решением.
Настоящее пособие представляет собой сборник задач по математике, предназначенный прежде всего для учеников старших классов, интересующихся точными науками. Он также будет полезен преподавателям математики и студентам, изучающим математику в высших учебных заведениях. Значительная часть материала может быть использована для подготовки к письменным и устным вступительным экзаменам в ВУЗы.
Выдержка из текста работы
Глава 1. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Пусть n – целое число ( n ∈ Z ), m – натуральное число ( m∈ N) . Говорят, что n делится на m, если существует целое число p( p∈Z ) такое, что
n = mр.
Число m, называется делителем числа n,p- частным от деления a на m.
Наибольшее натуральное число, являющееся натуральным делителем каждого из натуральных чисел m и n, называют наибольшим общим делителем этих чисел и обозначают НOД (m,n) или просто (m,n).
Например, если m= 36 и n= 84, то НOД(36,84) = 12.
Два натуральных числа m и n называют взаимно простыми и пишут (m,n)= 1, если единственным общим натуральным делителем этих чисел является число единица.
Например, числа 12 и 35 взаимно просты, так как натуральными делителями числа 12 являются числа 1,2,3,4,6, а натуральными делителями числа 35 являются числа 1,5,7.
Перечислим свойства делимости суммы (разности) и произведения чисел, считая, что a ∈ Z ,b ∈ Z ,m ∈ N .
1. Если a и b делятся на m, то числа a+b и a-b также делятся на m.
2. Если a и b делятся на m, то при любых целых числах k и l число ak+ bl также делится на m.
3. Если a делится на m , а b не делится на m , то числа a+b и a-b также не делятся на m.
4. Если a делится на m, а m делится на k ∈ N , то число a также делится на k.
5. Если a делится на m, а b не делится на m , то число ab делится на m.
6. Если a делится на каждое из чисел m и k, причем (m,k )= 1, то a делится на произведение mk.
7. Если a делится на m, то ak делится на mk при любом k ∈ N.
8. Если ab делится на m и b взаимно просто с m, то a делится на m.
Ограничимся доказательством свойства 1.
Доказательство. Если целые числа a и b делятся на m, то существуют числа p ∈ Z и q ∈ Z такие, что a = mp,b =qm .
Отсюда следует, что
a + b = mp + mq = ( p + q)m ,
a - b= mp- mq= ( p- q)m .
Так как числа p+ q и p- q – целые, то числа a+ b и a- b делятся на m. Свойство доказано.
Пример 1. Натуральное число 3n + 2 и 8n + 3 делятся на натуральное число p ≠ 1. Найти p.
Решение. Так как числа 3n + 2 и 8n + 3 делятся p, то и число
8 ∙ (3n + 2) - 3(8n + 3) = 7
должно делиться на p. Но единственное натуральное число p ≠ 1, на которое делится 7, равно 7. Значит p = 7. Например, при n = 4 получаем числа 14 и 35, которые делятся на 7.
Ответ: p = 7.
1.1. Простые и составные числа
Натуральное число p называется простым, если p> 1 и p не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p.
Из определений легко следует, что если p и p_1 – простые числа и p делит p_1, то p= p_1. Кроме того, для любого натурального числа его наименьший отличный от единицы положительный делитель является простым числом.
Натуральное число n> 1 называется составным, если n имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от 1 и n.
Число 1 не считается ни простым, ни составным.
Пример 2. Доказать, что число a= 4 ∙〖16〗^(12 )- 2^40 делится на 33.
Решение. Так как 4 ∙〖16〗^(12 )= 2^4∙ 4^48 = 2^50,
то
a = 2^50- 2^40 = 2^40 (2^10 -1) =
= 2^40 (2^5 -1)(2^5 +1) = 2^40 ∙ 32 ∙ 33,
откуда следует, что a делится на 33.
Пример 3. Доказать, что число a = 8n^2 + 10n + 3 является составным при любом натуральном n.
Решение. Число a является составным при любом натуральном n, поскольку a = 8n^2 + 10n + 3 = (2n + 1)(4n + 3) , где числа 2n +1 и 4n + 3 натуральные, большие единицы.
Пример 4. Произведение нескольких различных простых чисел делится на каждое из этих чисел, уменьшенное на 1. Чему может быть равно это произведение?
Решение. Пусть искомое число n= p_1 ∙ p_2∙…∙p_k ,где p_1 ,p_2,…,p_k- простые числа и p_1< p_2<⋯< p_k. Так как n делится на каждое из чисел p_1-1 ,p_2-1,…,p_k-1, а они все, кроме возможно числа p_1-1, - четные. Это значит, что среди сомножителей p_1 ,p_2,…,p_k присутствует число 2, т.е.
p_1= 2.
Тогда n = 2 ∙ p_2,…,p_k.
Рассмотрим число p_k-1= 2q_k .
По условию число 2q_k делит n = 2 ∙ p_2,…,p_k. Это значит, что q_kявляется делителем числа p_2∙…∙p_(k-1). Это возможно, если q_k есть некоторое число или произведение некоторого набора чисел из набора
p_2,…,p_(k-1.)
Учитывая это условие и то, что число n_1 = 2 ∙ p_2,…,p_(k-1) обладает тем же свойством, что и число n, получаем способ получения искомых произведений: на каждом этапе следующий множитель〖 p〗_(k )оп-ределяется набором множителей
2 ,p_2,…,p_(k-1.)
Поэтому будем строить искомые произведения начиная с двух сомножителей.
Пусть k = 2 . Тогда n = 2 ∙p_2 Учитывая, что p_2-1 = 2q_2 и 2q_2 делит число 2, получаем q_2=1. Тогда p_2 = 3 и n = 2 ∙3 = 6.
Пусть k = 3 . Тогда n = 2∙3∙p_3. Учитывая, что p_3-1 = 2q_3 и 2q_3 делит число 2∙3, получаем q_3 = 3.
Тогда p_3 = 7 и n = 2 ∙ 3 ∙ 7 = 42 .
Пусть k = 4 . Тогда n = 2∙3∙〖7∙p〗_4. Учитывая, что p_4-1 = 2q_4 и 2q_4 делит число 2∙3∙7, получаем возможные значения q_4 = 3 или q_4 = 7, или q_4 = 3 ∙ 7 = 21 . Тогда p_4= 7 (уже есть такой множитель) или p_4 = 15 (не простое число), или p_4=43.
Тогда n=2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 43 =1806.
Пусть k=5 . Тогда n=2∙3∙〖7∙43∙p〗_4. Учитывая, что p_5-1 =2q_5 и 2q_5 делит число = 2∙3∙7 ∙ 43, получаем возможные значения q_5 и p_5:
q_5 = 3,p_5 = 7 (такой множитель есть);
q_5 = 7,p_5 = 15 (не простое число);
q_5= 3 ∙ 7 ,p_5= 43 (такой множитель есть);
q_5 = 43 ,p_5 = 87 (не простое число, делится на 3);
q_5 = 3 ∙ 43,p_5 = 257 (не простое число, делится на 7);
q_5 = 7 ∙ 43,p_5 = 603 (не простое число, делится на 3);
q_5=3∙7∙43,p_5 =1807 (не простое число, делится на 13).
Следовательно, искомого произведения из пяти сомножителей не существует, а значит не существует подобных произведений и с большим числом сомножителей.
Ответ: 6,42,1806.
Теорема 1 (Евклида). Множество положительных простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим, что множество положительных простых чисел конечно и состоит из чисел p_1 ,p_2,…,p_k.
Рассмотрим число p= p_1∙ p_1 ∙ .∙ p_1+1 .
Тогда либо натуральное число p, большее единицы, само является простым, либо оно разложимо в произведение положительных простых чисел и поэтому обладает хотя бы одним простым делителем. По предположению p не может быть простым, так оно не совпадает ни с одним из чисел p_1 ,p_2,…,p_k. Если же p разложи мо, то его делитель должен быть отличен от чисел p_1 ,p_2,…,p_k. так как в против ном случае этот делитель делит числа p_1∙ p_1 ∙ .∙ p_1 и p, а значит делит и разность 〖p-p〗_1∙ p_1 ∙ .∙ p_1= 1, а это невозможно.
Следовательно, простых чисел бесконечно.
Простые числа, хотя их и бесконечно много, составляют небольшую часть всех натуральных чисел, что выражается следующей теоремой.
Теорема 2. Для любого целого числа k ≥ 1 в натуральном ряду можно найти k составных чисел, непосредственно следующих друг за другом.
Доказательство. Возьмем число n = (k +1)! и рассмотрим k следующих друг за другом чисел
n_1 = n + 2,n_2 =n + 3,.,n_k= n + (k +1) .
Каждое число в этом списке является составным, так как n_1 делится на 2, n_2- на 3, n_3- на 4, . , n_k- на k +1. Теорема доказана.
Теорема 3. Если произведение нескольких натуральных чисел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей.
Доказательство. Возьмем канонические разложения входящих в произведение натуральных чисел. Так как произведение этих чисел делится на простое число, то это простое число должно присутствовать хотя бы в одном каноническом разложении множителей. Следовательно, на это число делятся все множители, в каноническом разложении которых присутствует это число. Теорема доказана.
1.2. Каноническое разложение натурального числа
Представление натурального числа n в виде произведения двух натуральных чисел ab называется разложением на множители. Представление числа в виде произведения простых чисел называется разложением на простые множители. Считается, что если n - простое число, то оно имеет разложение на простые множители, состоящее из одного числа n.
Два разложения на множители называются одинаковыми, если они отличаются только порядком множителей. Например, разложения
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7 и 42 = 7 ∙2∙ 3
считаются одинаковыми.
Теорема 4 (основная теорема арифметики). Для каждого натурального числа n > 1 существует единственное разложение на простые множители.
Это значит, что для любого натурального числа два разложения на простые множители могут отличаться только порядком этих множителей.
Каноническим разложением целого числа n > 1 называется представление n в виде
n =P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S ), (1)
где p_1,p_2,.,p_s - попарно различные простые числа, а k_1,k_2,.,k_s - натуральные числа. Для отрицательных целых чисел n < -1 каноническим разложением считается представление в виде n =- P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S ) .
Пусть число p - наименьший среди простых делителей p_1,p_2,.,p_s. Тогда
n =P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S )≥P^2.
Отсюда, p ≤√n . Следовательно, если n - составное число, то оно имеет простой делитель p такой, что p ≤√n. Если число n не имеет простых делителей, не превосходящих √n , то n - простое число.
Пример 5. Сколько существует способов разложения числа
n = P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S )
в произведение двух взаимно простых множителей?
Решение. Пусть имеется разложение n = n_1∙n_2, где числа n_1 и n_2- взаимно просты, т.е. (n_1,n_2) = 1. Это будет возможно в случае, когда эти числа не содержат ни одного общего множителя p_i (1 ≤ i ≤s ). Поэтому искомое количество способов разложения будет равно количеству способов разбиения множества чисел {p_1,p_2,.,p_s} на две непересекающиеся группы.
Рассмотрим строчки ⏟(( , ,.,))┬(S позиций) в которых в i -й позиции стоит 1, если p_i входит в множитель n_1, и 0, если p_(i )входит в множитель n_2. Для заполнения каждой позиции имеется 2 способа. Всего s позиций. Две позиции можно заполнить 2∙ 2 = 2^2 способами, три - 2∙ 2∙ 2 = 2^3 и т.д. Соответственно, всего имеется 2^s различных строчек. Исключая строчки из одних 1 (в этом случае n_1= n ) и одних 0 (в этом случае n_2 = n), получаем искомое число, равное 2^s - 2 .
Ответ: 2^s - 2.
1.3. НОД и НОК
Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел a_1,a_2,.,a_n называется наибольшее натуральное число, на которое делятся данные числа. Наименьшим общим кратным (НОК) - наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из этих чисел. Наибольший общий делитель чисел a_1,a_2,.,a_n обозначают (a_1,a_2,.,a_n ), а наименьшее общее кратное - [a_1,a_2,.,a_n ]. В частности, (a,b)- НОД чисел a и b, а [a,b] - НОК этих чисел.
Отметим, что
НОД (a; b) = НОД (a; a + b);
НОД (a; b) = НОД (a; a - b).
Числа a_1,a_2,.,a_n называются взаимно простыми, если (a_1,a_2,.,a_n )= 1 и попарно взаимно простыми, если любые два из них взаимно просты, т.е. (a_i,a_j ) = 1 при i ≠ j. Попарно взаимно простые числа являются взаимно простыми (в совокупности). Обратное утверждение неверно, как показывает следующий пример: числа
n_1 = 3 ,n_2= 2 ∙ 3 ,n_3= 2 ∙ 5 и n_4= 3 ∙ 5
не являются взаимно простыми, а (n_1,n_2,n_3,n_4) = 1.
Отметим, что
Если целые числа a и b взаимно просты, то их сумма a+ b и произведение ab также являются взаимно простыми числами.
Если целые числа a и b являются взаимно простыми, то
НОД (a + b; a- b) = 1
или
НОД (a + b; a- b) = 2.
Доказательство. Положим НОД (a + b; a- b) = d .
Тогда (a+ b) | d, (a - b) | d. Следовательно, сумма и разность чисел a+ b и а - b, равные соответственно 2a и 2b делятся на d. Но числа a и b по условию взаимно просты, поэтому 2 делится на d∶ 2 | d. Отсюда d = 1 или d = 2. Оба эти случая возможны. Действительно, d = 1, если числа a и b разной четности, и d = 2, если они нечетны.
Любые два последовательных натуральных числа взаимно просты.
Наибольший общий делитель любых двух последовательных четных натуральных чисел равен 2.
Любые два последовательных нечетных натуральных числа взаимно просты.
Если целые числа a и b являются взаимно простыми, то
НОД (a + b; a^2 - ab + b^2)
равен 1 или 3.
Если натуральные числа m и n взаимно просты, то
НОД (m + n; m^2 + n^2)
равен 1 или 2.
Доказательство. Пусть d - общий делитель чисел m + n и m^2 + n^2. Тогда на d делится также число (m + 〖n)〗^2, а значит, и число
(m + 〖n)〗^2-m^2 + =2mn.
Итак, d является общим делителем чисел m + n и 2mn. Но m + n и m не могут иметь общих делителей, отличных от 1 (так как m и n взаимно просты), и тоже справедливо для чисел m + n и n. Следовательно, d является делителем числа 2, т.е. d = 1 или d = 2.
Теорема 5. Пусть n - натуральное число и n =P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S )- его каноническое разложение на простые множители. Тогда каждый натуральный делитель d числа n может быть записан в виде
d = P_1^(M_1 )∙P_2^(M_2 )∙…∙ P_S^(M_S ),
где M_I - целые числа, удовлетворяющие условиям
0≤ M_1 ≤ K_1,.,0 ≤ M_S≤ K_S.
Доказательство. Пусть d - какой- либо делитель натурального числа n. Так как каждый простой делитель числа d является делителем числа n, тогда в разложении d на простые множители могут встречаться только числа из множества {p_1,p_2,.,p_s }. Поэтому число d представимо в виде
d = P_1^(M_1 )∙P_2^(M_2 )∙…∙ P_S^(M_S ).
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть даны два натуральных числа a и b, а p_1,p_2,…,p_s-
простые числа, входящие в канонические разложения a и b. Представим числа a и b в виде
a= P_1^(K_1 )∙P_2^(K_2 )∙…∙ P_S^(K_S ) и
b= P_1^(M_1 )∙P_2^(M_2 )∙…∙ P_S^(M_S )
где M_I≥ 0,K_I ≥0 -целые числа. Тогда
(a b)= p_1^min(k_1∙m_1 ) ∙p_2^min(k_2∙m_2 ) ∙〖… ∙p〗_s^min(k_s∙m_s ) ,
[a b]= p_1^max(k_1∙m_1 ) ∙p_2^max(k_2∙m_2 ) ∙〖… ∙p〗_s^max(k_s∙m_s ) .
Например, пусть a = 2^3∙〖3 〗^2∙ 7,b = 2^4∙ 3 ∙ 5^2∙11. Запишем их в виде a = 2^3∙〖3 〗^2∙5^0 ∙7^1∙〖11〗^0,b = 2^4∙ 3^1 ∙ 5^2∙7^0∙〖11〗^1. Тогда
(a,b) = 2^3∙〖 3〗^1 = 24,
[a,b] = 2^4∙ 3^2∙ 5^2 ∙7^1 ∙〖11〗^1 = 277 200.
Замечание. Справедливо равенство (a,b) ∙ [a,b] = a ∙b.
Пример 6. Найти (5160,16920) и [5160,16920].
Решение. Напишем канонические разложения чисел 5160 и 16920:
5160 = ⏟(2∙5)┬10∙ ⏟(2∙2∙⏞(3∙43)┴129 )┬564 =2^3 ∙ 3∙ 5∙ 43,
16920 = ⏟(2∙5)┬10∙ ⏟(2∙2∙⏞(3∙47)┴423 )┬1692 = 2^3 ∙3^2 ∙ 5∙ 47.
Тогда
(5160,16920) = 2^3 ∙ 3^1∙ 5^1∙ 〖43〗^0∙ 〖47〗^0 = 120,
[5160,16920] = 2^3 ∙ 3^2∙ 5^1∙ 〖43〗^1∙ 〖47〗^1= 727560.
Ответ: 120,727560.
Существует еще один способ нахождения НОД двух чисел, называемый алгоритмом Евклида, использующий деление чисел с остатком.
Пример 7. Найти все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13.
Решение. Пусть a и b - искомые числа, По условию (a,b) = 13. Значит
a = 13 ∙ a_1 и b = 13 ∙ b_1. Так как [a,b] = 78, а 78 = 6 ∙ 13 , то, используя равенство
(a,b) ∙ [a,b] = a ∙ b,
получаем a∙ b = 〖13〗^2∙a_1 ∙ b_1=〖13〗^2 ∙ 6. Отсюда получаем a_1 ∙ b_1 = 6 . Следовательно, возможны случаи a_1= 1,b = 6 и a_1= 2,b_1= 3 (или a_1 = 6,b_1 = 1 и a_1 = 3,b_1 = 2 ). Тогда получаем две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи (13,78) и (26,39).
Ответ: (13,78),(26,39).
Заключение
Работа содержит необходимый теоретический и практический материал в виде основных понятий, теорем, доказательств, решенных примеров.
Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть использована в качестве методического пособия по курсу алгебры и теории чисел для студентов и для подготовки к ЕГЭ учащихся 10-11 классов.
Список литературы
1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003, 176 стр. ISBN 5-93972-252-0
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с.
3. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел.- М.: Наука, 1965. -176с.
4. Михелович Ш.Х. Теория чисел. -2-е изд. - М.: Высшая школа, 1967. - 336 с.
5. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов- заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов (Н. А. Казачек,Г. Н. Перлатов, Н. Я. Виленкин, А. И. Бородин; Под ред. Н. Я. Виленкина.—2-е изд.—М.: Просвещение, 1984. 192 с.
6. Нестеренко Ю. В. Теория чисел : учебник для студ. высш. учеб. заведений / Ю. В. Нестеренко. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. - 272 с.
7. Просветов Г. И. Теория чисел: задачи и решения: Учебно-практическое пособие -М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2010. — 72 с. ISBN 978-5-94280-453-4
8. Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник-практикум по теории чисел.- М.: Просвещение, 1972
9. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел.- М , «Просвещение», 1970
Тема: | «Применение теории чисел к решению математических задач» | |
Раздел: | Математика | |
Тип: | Дипломная работа | |
Страниц: | 88 | |
Цена: | 1650 руб. |
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
- Цены ниже рыночных
- Удобный личный кабинет
- Необходимый уровень антиплагиата
- Прямое общение с исполнителем вашей работы
- Бесплатные доработки и консультации
- Минимальные сроки выполнения
Мы уже помогли 24535 студентам
Средний балл наших работ
- 4.89 из 5
написания вашей работы
-
Дипломная работа:
Изучение текстовых задач на уроках математики в начальных классах
87 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ…. 3
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКОЕ ОСНОВАНИЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.1.1.Роль и место текстовых задач в содержании в курсе математики в начальной школе…7РазвернутьСвернуть
1.2. Подходы к изучению текстовых задач в различных методических системах…. 17
1.3. Методическая система изучения текстовых задач в учебно-методическом комплексе «Школа России»….23
ГЛАВА II. ОПЫТНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ.
2.1. Инновационный проект по изучению текстовых задач в 4 классе основанное на УМК «Школа России»…40
2.2. Этапы и содержания опытно-экспериментальной работы по использованию современных подходов к изучению текстовых задач…. ….46
2.3. Подведение итогов опытной работы и разработка методических рекомендаций для учителей начальных классов…72
ЗАКЛЮЧЕНИЕ….78
ЛИТЕРАТУРА ….81
-
Дипломная работа:
Приложения координатно-векторного метода к решению школьных задач
80 страниц(ы)
Введение….….3
Глава I. Координатный метод решение задач….5
§ 1.1. Ортонормированный репер на плоскости. Простейшие задачи в координатах….….6§ 1.2. Общее уравнение прямой. Уравнение окружности….12РазвернутьСвернуть
§ 1.3. Примеры решения задач координатным методом….….…19
Глава II. Векторный метод решения задач….….25
§ 2.1. Координаты вектора на плоскости….25
§ 2.2. Координаты вектора в пространстве….26
§ 2.3. Примеры решения задач векторным методом….31
Глава III. Координатно-векторный метод решения задач….42
§ 3.1. Нахождение угла между прямыми в пространстве….42
§ 3.2. Нахождение угла между плоскостями….….51
§ 3.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью….57
§ 3.4. Нахождение расстояния от точки до плоскости….72
§ 3.5. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.….75
Заключение….….79
Литература….….….80
-
Дипломная работа:
Новые подходы в преподавании математики
90 страниц(ы)
Введение 3
Глава 1. Теоретические основы новых подходов в обучении математики 5
§1. Новые подходы в обучении математике: общии обзор.5§2. Дифференцированный подход.8РазвернутьСвернуть
§3. Проблемный подход.11
§4. Технологический подход.16
§5. Научно - исследовательский подход.22
Глава 2. Разработка факультативных занятии на основе новых подходов 25
§1. Решение задач с параметрами.25
1. Аналитические приемы решения задач с параметрами.26
1.1 Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.26
1.2 Параметр и свойства решений уравнений, неравенств и их систем.31
2. Функционально-графические приемы при решении задач с параметрами.35
2.1 Свойства функции в задачах с параметрами.35
2.2 Координатная плоскость.44
3. Квадратичная функция.52
3.1 Теорема Виета.56
3.2 Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции.59
4. Применение производной при решении задач с параметрами.64
§2 Решение задач по теории чисел.67
1. Простые и составные числа.67
1.2 Составные числа в задачах.67
1.3 Каноническое разложение числа на простые множители.70
1.4 Формула количества делителей натурального числа n….70
1.5 Формула суммы делителей натурального числа n….….74
1.6 Деление с остатком.75
1.7 Четные и нечетные числа.78
2. Наибольший общий делитель.82
2.1 Алгоритм Евклида.82
Заключение.87
Литература.89
-
ВКР:
85 страниц(ы)
Введение 3
1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
1.1 Линейные дифференциальные уравнения 61.2 Нелинейные дифференциальные уравнения 11РазвернутьСвернуть
1.3 Асимптотические оценки и их свойства 15
1.4 Асимптотические ряды и их свойства 18
1.5 Определение и основные свойства асимптотических разложений 22
1.6 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений 24
Выводы по первой главе 25
2 Моделирование решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 26
2.1 Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 26
2.2 Нахождение численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 28
Выводы по второй главе 31
3 Методика применения компьютерное моделирование в школьном курсе информатики 32
3.1 Основные понятия и принципы компьютерного моделирования 32
3.2 Анализ элективных курсов по компьютерному моделированию в школе. 37
3.3 Элективный курс по компьютерному математическому моделированию в Maple 40
Выводы по третьей главе 55
Заключение 57
Список использованной литературы 59
Приложения 62
-
Дипломная работа:
Система подготовки выпускников к решению нестандартных задач по математике в профильных классах
68 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 9
1.1 Простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 91.2 Основные типы показательных уравнений и неравенств 10РазвернутьСвернуть
1.3 Различные задачи, связанные с логарифмической функцией. 13
1.4 Метод мини-максов. 13
1.5 D-метод (дискриминантный метод). 15
Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ 16
2.1 Использование понятия области определения функции 16
2.2 Использование понятий области значений функции 16
2.3 Использование свойства монотонности функции 17
2.4 Использование свойств четности или нечетности функций 18
2.5 Использование свойства периодичности функции 19
Глава 3. Решение нестандартных уравнений и неравенств 20
3.1 Решение простейших показательных уравнений и неравенств 20
3.2 Решение показательных уравнений и неравенств основных типов 21
3.3 Решение различных задач, связанных с логарифмической функцией 38
3.4 Решение уравнений методом мини-максов 41
3.5 Решение уравнений D-методом 45
3.6 Решение уравнений и неравенств, используя область определения функции 50
3.7 Решение уравнений, используя область значений функции 51
3.8 Решение уравнений и неравенств, используя свойства монотонности функции 52
3.9 Решение уравнений, используя свойства четности или нечетности функции 53
3.10 Решение уравнений и неравенств, используя свойство периодичности функции 54
3.11 Решение различных нестандартных уравнений из заданий ЕГЭ 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 59
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 60
Не нашли, что искали?
Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ
Следующая работа
Модульное обучение алгебре и началам анализа в 10 классе




-
Дипломная работа:
Обучение аудированию детей в центрах дополнительного образования с помощью проблемных заданий
72 страниц(ы)
Введение 3
.Глава 1. ЛИНГВОДИДАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ЛЕКСИЧЕСКОЙ СТОРОНЕ АУДИРОВАНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОБЛЕМНЫХ ЗАДАНИЙ 71.1. Психолого-педагогические особенности школьников 7РазвернутьСвернуть
1.2. Основные компоненты содержания обучения лексической стороне аудирования 11
1.3. Требования школьной программы по иностранному языку в средней школе для обучения лексической стороне аудирования 20
Выводы по первой главе 29
Глава 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЛЕКСИЧЕСКОЙ СТОРОНЕ АУДИРОВАНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОБЛЕМНО-ПРОЕКНЫХ ЗАДАНИЙ 32
2.1. Методика обучения лексической стороне аудирования 32
2.2. Объективные трудности при аудировании и факторы их обуславливающие 36
2.3. Результаты опытно-экспериментальной работы 53
Выводы по второй главе 61
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 63
Список литературы 66
-
Курсовая работа:
Разработка и внедрение web-сайта
35 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 2
Концепция WWW 3
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА И ЭТАПЫ СОЗДАНИЕ САЙТА 5
Правила Web-дизайна 6
Браузеры 8
Обеспечение доступности Web-страницы 14Представление графики на Web-страницах 15РазвернутьСвернуть
Разрешение и размер файла изображений. 18
СТРУКТУРА WEB-СТРАНИЦЫ 19
Создание фиксированных и гибких Web-страниц 19
Разработка комбинированных Web-страниц 21
Язык HTML 22
Теги HTML 23
Структура HTML документа 26
Форматирование текста 29
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 32
ЛИТЕРАТУРА 33
-
Дипломная работа:
61 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ КОММУНИКАТИВНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ В РАМКАХ КУРСА «ОКРУЖАЮЩИЙ МИР» 91.1. Основы понятия коммуникативные универсальные учебные действия в свете реализации ФГОС 9РазвернутьСвернуть
1.2. Возрастные особенности младших школьников по формированию коммуникативных универсальных учебных действий 12
1.3. Коммуникативные универсальные учебные действия в рамках курса «Окружающий мир» 16
Вывод по первой главе 23
ГЛАВА II. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ФОРМИРОВАНИЮ КОММУНИКАТИВНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В РАМКАХ КУРСА «ОКРУЖАЮЩИЙ МИР» 24
2.1. Особенности диагностических методик по выявлению уровня сформированности коммуникативных универсальных учебных действий у младших школьников 24
2.2. Организация и проведение уроков по окружающему миру с формированием коммуникативных универсальных учебных действий 37
2.3. Анализ проведения опытно-педагогической работы 40
Вывод по второй главе 51
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 53
ЛИТЕРАТУРА 56
-
Дипломная работа:
Формирование икт компетенции как метапредметный результат освоения ооп
20 страниц(ы)
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ФОРМИРОВАНИЯ ИКТ КОМПЕТЕНЦИИ.
1.1. Компьютерные средства на уроках.
1.2. Психолого – педагогические основы применения компьютерных средств обучения.1.3. Информационно-коммуникационно-технологическая компетентностьРазвернутьСвернуть
ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТРОННОЙ СИСТЕМЫ ПРОВЕРКИ МЕТАПРЕДМЕТНЫХ ЗНАНИЙ 8
2.1.Создание электронной системы проверки знаний с помощью программы Adobe Flash CS3 9
2.2.Создание задания на ввод ответа 10
2.3. Создание задания на соотнесение 13
2.4. Создание задания открытого типа со счётчиком
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 15
ЛИТЕРАТУРА 18
-
Дипломная работа:
102 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ….3
ГЛАВА I. РОМАН М.А. БУЛГАКОВА «МАСТЕР И МАРГАРИТА»
В ЛИТЕРАТУРЕ И КУЛЬТУРЕ
1.1. Роман М. Булгакова «Мастер и Маргарита» в литературоведении…81.2. Роман «Мастер и Маргарита» в живописи и в скульптуре….…15РазвернутьСвернуть
1.3. История кинолент романа «Мастер и Маргарита»….23
1.4. Роман «Мастер и Маргарита» в драматургии….….35
Выводы по первой главе….43
ГЛАВА II. БУЛГАКОВСКИЕ ОБРАЗЫ В ЛИТЕРАТУРЕ И КУЛЬТУРЕ
2.1. Образ Мастера и Маргариты в литературоведческой, кинематографической, живописной трактовке….45
2.2. Трактовка образа Иешуа и Пилата в литературе и культуре.….…51
2.3. Интерпретация инфернальных образов в литературе и культуре….56
2.4. Разработка конспекта урока «Жизнь и творчество М.А. Булгакова» для 11-х классов СОШ…63
Выводы по второй главе….76
ЗАКЛЮЧЕНИЕ….79
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ….83
СЛОВАРИ И СПРАВОЧНИКИ…88
ИСТОЧНИКИ МАТЕРИАЛА….89
ПРИЛОЖЕНИЕ….88
-
ВКР:
69 страниц(ы)
Введение 3
Глава 1. ЯЗЫКОВЫЕ ЛАКУНЫ В НАЦИОНАЛЬНОЙ КАРТИНЕ МИРА 7
1.1 Взаимосвязь языка и культуры в межкультурной коммуникации 71.2 Толкование термина «лакуна» в контексте современных лингвистических исследований 9РазвернутьСвернуть
1.3 Проблемы классификации лакун 13
1.4 Типы языковых лакун 16
Выводы по первой главе 23
Глава 2. ЗАПОЛНЕНИЕ ЛАКУН В МЕЖКУЛЬТУРНОЙ КОММУНИКАЦИИ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ РКИ 25
2.1 Языковая лакуна в практике преподавания РКИ 25
2.2 Методы семантизации языковых лакун в практике преподавания РКИ 36
2.3 Работа с художественным текстом на уроке РКИ: система упражнений и заданий 42
Выводы по второй главе 51
Заключение 53
Литература 56
Приложение 62
-
Дипломная работа:
Психолого-педагогическая деятельность по профилактике аддиктивного поведения школьников
121 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ ….… 3
Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРОФИЛАКТИКИ АДДИКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ ….….71.1. Аддиктивное поведение как вид девиантного поведения школьников ….….7РазвернутьСвернуть
1.2. Причины и факторы аддиктивного поведения школьников…15
1.3. Формы и методы психолого-педагогической профилактики аддиктивного поведения школьников ….…. 27
Выводы по первой главе ….…. 38
Глава II. ОПЫТ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО ПРОФИЛАКТИКЕ АДДИКТИВНОГО ПОВЕДЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ ….…41
2.1. Содержание комплексной программы профилактики аддиктивного поведения учащихся МОБУ СОШ № 20 г.Белорецк Республики Башкортостан ….….….…. 41
2.2. Содержание и анализ результатов психолого-педагогической деятельности по профилактике аддиктивного поведения школьников МОБУ СОШ № 20 г. Белорецк Республики Башкортостан….
Выводы по второй главе …. 65
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ….….68
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …72
ПРИЛОЖЕНИЯ ….79
-
Реферат:
27 страниц(ы)
Транспортные риски и их страхование 3
Морские перевозки (страхование каско) 4
Страхование судов торгового флота. 6Морские перевозки (страхование карго) 11РазвернутьСвернуть
Институт общей аварии 14
Воздушные перевозки 16
Железнодорожные перевозки 18
Страхование контейнеров 21
Список использованной литературы 27
-
Дипломная работа:
Развитие музыкальных способностей с применением музыкально-компьютерных технологий
101 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 3
Глава 1. Использование компьютерных технологий в педагогическом процессе. 9
1.1.Компьютерные технологии. Виды компьютерных технологий, принцыпы их работы 91.2. Компьютерные системы, их классификация 16РазвернутьСвернуть
1.3.Цели и задачи использования компьютерных технологий в образовании 18
1.4. Методические возможности средств компьютерных технологий 19
1.5. Классификация педагогических программных средств 20
Выводы по первой главе 21
Глава 2. Теоретические основы развития музыкальных способностей с применением музыкально-компьютерных технологий. 23
2.1. Компьютерные технологии и музыка 23
2.2. Звукозапись 26
2.3. Перспективы развития компьютерных технологий в музыке 29
2.4. Компьютерные технологии в музыке 31
2.5. Программные средства обучения музыки 33
2.6. Интернет-технологии в обучении музыке 36
2.7. Музыкальная педагогика и тенденции её дальнейшего развития 38
Выводы по второй главе 39
Глава 3. Экспериментальное исследование проблемы использования компьютерных технологий на развитие музыкальных способностей 41
3.1. Описание этапов исследования и обоснование его методов 41
3.2. Результаты исследования 58
3.3. Выводы по эмпирической части работы 62
3.4.Творческий проект и его описание….74
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 76
ПРИЛОЖЕНИЯ 82
-
Дипломная работа:
88 страниц(ы)
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 4
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. ТЕХНОЛОГИЯ CRISPR/Cas И ПЕРСПЕКТИВЫ СОЗДАНИЯ СОРТОВ С ВЫСОКИМ СОДЕРЖАНИЕМ АНТОЦИАНОВ (ОБЗОР ЛИТЕРАТУРНЫХ ДАННЫХ) 91.1. Методы направленного редактированиям генома 9РазвернутьСвернуть
1.2. Технология CRISPR/Cas 14
1.3. Транскрипционный фактор MYB биосинтеза антоцианов 17
1.4. Ген ANT1 18
1.5. Общая характеристика антоцианов 19
1.6. Антиоксидативные свойства антоцианов 23
1.7. Бинарная векторная CRISPR-плазмида pTC223 24
1.8. Методы доставки векторных конструкций 24
ГЛАВА 2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 29
2.1. Материалы исследования 29
2.1.1. Трансформируемые растения 29
2.1.2. Приготовление питательных и селективных сред для культивирования и регенерации трансгенных растений 29
2.1.3. Agrobacterium tumefaciens и A.rhizogenes 32
2.1.4. Плазмида pTC223 32
2.2. Методы исследования 33
2.2.1. Бактериологические методы 33
2.2.2. Генно-инженерные методы 37
2.2.3. Молекулярно-генетические методы 41
2.2.4. Методы изучения антоцианов 46
2.2.5. Биоинформатические методы 49
ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ 50
3.1. Схема эксперимента 50
3.2. Биоинформатический анализ 50
3.3. Агробактериальная трансформация in vitro 52
3.4. Получение регенерантов 54
3.5. ПЦР-анализ линий бородатых корней 57
3.6. Изменение окраски спиртовых экстрактов антоцианов 58
3.7. Спектрофотометрическое pH-дифференциальное исследование 62
3.8. Агробактериальная трансформация томата in planta 64
3.9. Агробактериальная трансформация рапса (Brassica napus) с использованием pTC223 65
3.10. Планирование эксперимента по модификация pTC223 для трансформации растений из семейства Brassicaceae 67
ГЛАВА 4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ «БИОЛОГИЯ» 70
4.1. Роль и значение биологии в системе школьного образования 70
4.2. Анализ программ и учебников по реализации материалов ВКР в школьном курсе «Биология» основного общего образования 72
4.3. Разработка урока по биологии в 5 классе на тему «Разнообразие, распространение, значение растений» 81
4.4. Использование логико-смыслового моделирования в образовательном процессе 87
ВЫВОДЫ 91
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 93
ПРИЛОЖЕНИЕ 108