«Методика изучения тригонометрических функций. тригонометрические уравнения и неравенства» - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Глава I. Определения и основные свойства тригонометрических функций

1.1. Радианная мера дуги. Тригонометрическая окружность 6

1.2. Связь между числовой прямой и числовой окружностью 9

(Лекция-беседа для учащихся 9 – 10 классов)

1.3. Определение основных тригонометрических функций 12

Глава II. Обратные тригонометрические функции 27

2.1. Определение, свойства и графики обратных тригонометрических

функций 28

2.2. Уравнения и неравенства, содержащие обратные

тригонометрические функции 37

Глава Ш. Тригонометрические уравнения и системы 44

3.1. Общие замечания

3.2. Основные способы решения тригонометрических уравнений 46

3.3. Системы тригонометрических уравнений 56

Глава IV. Тригонометрические неравенства. 60

4.1. Доказательство неравенств, связанных с тригонометрическими

функциями

4.2. Решение тригонометрических неравенств 66

4.3. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов на

тригонометрической окружности 70

Глава V. Факультативные занятия 79

5.1. Факультативное занятие на тему: Эти разные синусы.

(Гиперболический синус) 81

5.2. Факультативное занятие на тему: Решение «нестандартных»

задач 85

Заключение 92

Введение

Тригонометрические функции являются первыми трансцендентными функциями, изучаемыми в школьном курсе математики. Их роль и место в нем определяются главным образом двумя сторонами применения этих функций в теории и практике. Во-первых, тригонометрические функции дают замечательный вычислительный аппарат для решения разнообразнейших задач планиметрии и стереометрии. Во-вторых, учение о тригонометрических функциях позволяет весьма наглядно, просто и убедительно продемонстрировать важнейшие свойства функций вообще: периодичность, четность и нечетность, ограниченность, монотонность и т. д.

Раздел «Тригонометрия», как известно, является одним из самых сложных в школьном курсе математики. На его изучение выделяется

90 часов.

У школьников старших классов значительные трудности вызывают обратные тригонометрические функции. Связано это, прежде всего, с тем, что в действующих учебниках и учебных пособиях подобным задачам уделяется не слишком большое внимание, и если с задачами на вычисление значений обратных тригонометрических функций учащиеся еще как-то справляются, то уравнения и неравенства, содержащие эти функции, нередко ставят их в тупик. Последнее не удивительно, поскольку практически ни в одном учебнике (включая учебники для классов с углубленным изучением математики) не излагается методика решения даже простейших уравнений и неравенств такого рода.

Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что методика обучения доказательству тригонометрических неравенств также разработана слабо. Требованием нашего времени является необходимость усиления прикладных направлений в обучении математике. Как показал анализ содержания школьного математического образования, возможности доказательства неравенств в этом плане широки.

Данная выпускная квалификационная работа посвящена методике изучения тригонометрических функций, тригонометрических уравнений и неравенств.

Актуальность выбранной темы обусловлена тем, что задачи по тригонометрии постоянно предлагаются на выпускных экзаменах в школе, на устных и письменных вступительных экзаменах в университеты, на различных олимпиадах по математике, что вызывает необходимость их тщательного изучения в школьной математике.

Цель исследования – разработать методику углубленного изучения тригонометрических функций, тригонометрических уравнений и неравенств на факультативных занятиях или спецкурсах по предмету.

Исходя из цели исследования, были поставлены следующие задачи:

- систематизировать материал, касающийся тригонометрических функций, тригонометрических уравнений и неравенств;

- разработать методику изучения тригонометрических функций, тригонометрических уравнений и неравенств;

- разработать систему упражнений на закрепление данной темы.

В данной работе объектом исследования выступает – повышение

эффективности изучения тригонометрических функций, тригонометрических уравнений и неравенств.

Предмет исследования – разработка методического материала по данной теме для факультативных занятий и спецкурсов по предмету.

Изучение тригонометрических функций состоит из следующих этапов:

I. введение числовой окружности (9 класс);

II. определение тригонометрических функций, их свойств и графиков (10 класс);

III. определение обратных тригонометрических функций, их свойств и графиков (10 класс);

IV. изучение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции (10 класс);

V. изучение тригонометрических уравнений и систем уравнений;

VI. изучение доказательств неравенств, связанных с тригонометрическими функциями;

VII. изучение решений тригонометрических неравенств;

VIII. определение гиперболического синуса.

В работе представлены методические рекомендации по изучению темы на каждом из этапов. Кроме того, по каждой теме приводятся примеры с анализом их решения, задания для самостоятельной работы.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть внедрена в школу в качестве некоторых внеурочных форм дополнительных занятий по математике, для углубленного изучения тригонометрических функций, тригонометрических уравнений и неравенств, и подготовки к вступительным экзаменам в вуз.

Выдержка из текста работы

1.1. Радианная мера дуги. Тригонометрическая окружность

1. Общие замечания.

Первое важное обстоятельство, которое следует хорошо продумать при изучении тригонометрических функций, состоит в том, что аргументами этих функций являются действительные числа. Школьника иногда пугают такие выражения, как sin 1, cos 15 (а не sin 1°, cos 15°), cos(sin 1) и др. Вызывают затруднения по существу несложные вопросы, для ответа на которые чаще всего достаточно только понимать смысл этих выражений.

При начальном знакомстве школьника с тригонометрическими функциями в курсе геометрии эти функции вводятся как функции угла (даже только острого угла). В дальнейшем понятие тригонометрической функции обобщается, когда начинают рассматривать функции дуги. При этом уже не ограничиваются дугами, заключенными в пределах одного оборота, т. е. от 0° до 360°, а рассматривают дуги, величина которых выражается любым числом градусов, как положительным, так и отрицательным. Существенный шаг состоит в том, что от градусного из-мерения дуг переходят к более естественному, радианному измерению. Действительно, деление полного оборота на 360 частей (градусов) является лишь данью традиции (хотя применяется и деление полного оборота на другое число частей, например, на 100 так называемых отметок угломера). В основе же радианной меры лежит измерение длин дуг окружности. Единицей измерения служит 1 радиан – величина дуги, длина которой равна радиусу. Поскольку длина окружности единичного радиуса равна 2 , то величина дуги в 360° равна 2 радиан. Следовательно, 180 градусам соответствует радиан. Чтобы переходить от градусов к радианам и обратно, достаточно лишь помнить,

что зависимость между градусной и радианной мерой дуги является прямой пропорциональной зависимостью. [15].

1 рад = ( )° и 1° = .

Пример 1. Сколько градусов содержит дуга величиной в один радиан?

Решение.

Запишем пропорцию:

радиан – 180°,

1 радиан – х,

откуда x = 57,29578°, или 57° 17 44,8 .

Пример 2. Сколько градусов содержит дуга величиной в радиан?

Решение.

радиан – 180°,

радиан – x,

поэтому x = ( *180°)/ = 525°.

Пример 3. Сколько радиан содержит дуга величиной в 1984 градуса?

Решение.

радиан – 180°,

y радиан – 1984°,

поэтому y = = = 11 .

2. Тригонометрическая окружность.

При рассмотрении градусной или радианной мер дуги важно уметь учитывать направление, в котором дуга проходится от начальной точки A1 до конечной точки A2. Направление обхода дуги против часовой стрелки называют обычно положительным (рис. 1, a), а направление обхода по часовой стрелке – отрицательным (рис. 1, б).

Напомним, что окружность единичного радиуса, на которой заданы начало отсчета и положительное направление обхода, называется тригонометрической (или координатной) окружностью.

В качестве начала отсчета выбирают обычно правый конец горизонтального диаметра. При этом тригонометрическую окружность располагают на координатной плоскости с прямоугольной декартовой системой координат Oxy (рис. 2), помещая центр окружности в начало координат. Тогда начало отсчета имеет координаты (1;0). Обозначим A = =A(1;0) Закрепим также обозначения B, С, D за точками B (0; 1), C (-1; 0), D (0; -1),

Рис. 1

Рис. 2

Тригонометрическую окружность будем обозначать буквой S. Согласно сказанному выше

S = {(x; y) | x2 + y2 = 1 }.

1.2. Связь между числовой прямой и числовой окружностью.

(лекция-беседа для учащихся 9 – 10 классов )

Данная тема интересна тем, что дается интересная интерпретация представления чисел, схожих друг с другом по каким-то особым свойствам, а также ее оптимально использовать при подготовке к изучению темы “Решение тригонометрических уравнений и неравенств”.

Краткое содержание беседы.

Сначала продемонстрируем соответствие между множеством действительных чисел R и точками единичной окружности. Координатный луч с началом в точке A будем “наматывать”, как нитку, на единичную окружность сначала в положительном направлении – против хода часовой стрелки, затем в отрицательном – по ходу часовой стрелки. (рис. 1.) При этом множество всех действительных чисел отображается на множество точек окружности.

рис.1.

Обращаем внимание, что построенное отображение не является взаимнооднозначным, и записываем два вывода:

1) каждая точка окружности изображает бесконечное множество действительных чисел;

2) каждому действительному числу соответствует единственная точка окружности.

Учитель показывает демонстрационную модель единичной окружности. (рис. 2.)

рис.2.

Точки A, B, C, D назовем узловыми.

Около каждой из отмеченных точек окружности записываем несколько чисел. Около узловых точек выписываем больше чисел.

Существует пять способов записи чисел, соответствующих точкам единичной окружности.

1. Запись чисел, соответствующих одной точке единичной окружности.

Пусть на окружности дана произвольная точка Pt, которая получается поворотом точки P0 на угол t радиан вокруг точки O. При обходе окружности на целое число оборотов мы попадаем на исходную точку, а значит, точке Pt окружности наравне с некоторым числом t соответствует и любое число вида: t + , k Z. В данном случае (рис.3.) точке Pt соответствуют числа t = , k Z.

рис.3.

2. Запись чисел, соответствующих двум диаметрально противоположным точкам единичной окружности.

Пусть на окружности даны две диаметрально противоположные точки Pt и Pt+ . Точкам Pt и Pt+ (рис. 4.) соответствуют числа вида: t = , k Z.

рис.4. рис.5.

3. Запись чисел, соответствующих двум точкам на единичной окружности с одинаковыми абсциссами.

На окружности даны точки Pt и P-t (рис.5.). Точке Pt соответствуют числа вида t = , k Z, а точке P-t – числа вида t = - , m Z. Все числа соответствующие точкам Pt и P-t, можно записать в виде:

t = , n Z.

4. Запись чисел, соответствующих точкам на единичной окружности с одинаковыми ординатами.

На окружности даны точки Pt и P (рис. 6.). Точке Pt соответствуют числа t = , k Z, а точке P – числа t = , m Z. Все числа соответствующие точкам Pt и P , можно записать в виде:

t = (-1)k , n Z.

рис.6. рис.7.

5. Запись чисел, соответствующих точкам, делящим единичную окружность на n равных частей.

Точки, делящие окружность на n равных дуг, являются вершинами правильного вписанного n – угольника (рис. 7.). Пусть точке Pt соответствуют числа вида , k Z. Тогда точке P2 соответствуют числа , k Z, точке P3 – числа , k Z. И так далее. [21].

Упражнения на закрепление.

Задание 1. Указать каким точкам тригонометрической окружности соответствуют числа: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) , k Z.

Задание 2. Укажите все числа, соответствующие точкам окружности, изображенным на рисунке.

Задание 3. Запишите все числа, соответствующие точкам выделенной дуги (или двух дуг).

1.3. Определение основных тригонометрических функций.

Опорные знания.

При изучении тригонометрических функций, полезно каждую функцию (синус, косинус, тангенс, котангенс) разобрать по схеме:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) периодичность функции;

4) непрерывность функции;

5) четность (нечетность) функции;

6) знаки функции и промежутки монотонности;

7) график функции.

Важно отметить, что тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Простейшими из них являются так называемые гармонические колебания. Гармонические колебания имеют вид:

x = A cos(t + )

y = A sin(t + ),

где А – амплитуда гармонических колебаний, число  - угловая частота,  - начальная фаза. При этом учащиеся должны понимать смысл каждой из этих величин.

Заключение

Данная выпускная квалификационная работа представляет собой методическую разработку спецкурса для старшеклассников по изучению темы: «Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и неравенства».

Работа содержит: введение, заключение и 5 глав.

Глава I посвящена определениям и основным свойствам тригонометрических функций. В ней рассматривается радианная мера дуги, вводится числовая окружность. Проводится лекция-беседа на тему: «Связь между числовой прямой и числовой окружностью»; осуществляется пропедевтика темы: «Тригонометрические уравнения и неравенства»; также в этой главе приведена методика изучения тригонометрических функций.

Глава II обращена изучению обратных тригонометрических функций.

Здесь рассматривается методика изучения обратных тригонометрических функций, а также описываются различные методы решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Глава III посвящена изучению тригонометрических уравнений и систем тригонометрических уравнений. Здесь даются общие замечания по изучению данной темы; приводятся основные способы решения тригонометрических уравнений и систем уравнений.

Глава IV посвящена методике изучения тригонометрических неравенств.

Предлагаемые методические рекомендации направлены на то, чтобы раскрыть перед учащимися теоретическую значимость вопроса по доказательству тригонометрических неравенств; здесь также приводятся основные методы решения тригонометрических неравенств.

В Главе V приведены разработки факультативных занятий.

Работа завершается перечнем использованной литературы.

Изучение тригонометрических функций, тригонометрических уравнений и неравенств в школе дает возможность развития мышления, математической культуры, а широкий круг задач по тригонометрии делает разнообразным изучаемый предмет – математику.

Список литературы

1. Алгебра и математический анализ. 10 кл.: Учеб. Пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики./Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2002.– 335с.

2. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10–11 кл. сред. шк./ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.: Под ред. А.Н.Колмогорова. – М.: Просвещение, 1991.–320с.

3. В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1971.–592с.

4. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1978.–336с.

5. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1990.–416с.

6. В.Дроздов. Свойства обратных тригонометрических функций. Газ. «Математика». 2001, №21.

7. В.В.Зайцев, В.В.Рыжков, М.И.Сканави. Элементарная математика. Повторительный курс. – М.: Наука, 1974.–592с.

8. А.К.Калинкин. О решении тригонометрических неравенств.// Мат. в шк., 1991, №6.

9. Р. Кондратьева. О решении тригонометрических неравенств методом интервалов на тригонометрической окружности.// Учитель Башкирии, 1998, №5.

10. Крамор В.С., Михайлов П.А. Тригонометрические функции: (Система упражнений для самостоят. изучения). Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1983.–159с.

11. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. «Математика» и «Физика»./ А.Я.Блох, Е.С.Канин, Н.Г.Килина и др. – М.: Просвещение, 1985.–336с.

12. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов./ Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, Е.Л.Мокрушин и др. – М.: Просвещение, 1977.–480с.

13. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов./ В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Я.Саннинский. – М.: Просвещение, 1980.–368с.

14. С.И.Новоселов. Специальный курс тригонометрии. – М.: Высшая школа, 1959.–540с.

15. Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т. Тригонометрические функции в задачах. – М.: Наука, 1986.–160с.

16. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. Т. 1: – М.: Интеграл-Пресс, 2001.–416с.

17. Пособие по математике для поступающих в вузы./ Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов. – М.: Наука, 1972.–528с.

18. А. Смоляков. Тригонометрические уравнения повышенной трудности. Газ. «Математика». 2004, №46.

19. Л.Токарева. Тригонометрические неравенства. Газ. «Математика». 2002, №44.

20. Л.А.Трофимова, А.В.Плютова. Эти разные синусы.// Мат. в шк., 2003, №10.

21. М.И.Цехов.// Учитель Башкирии, 1991, №2.