«Разностные уравнения и поведение их решений» - Дипломная работа

Содержание

Введение. 3

Глава I. Понятия разностных уравнений.

§1.1 Общие понятия разностных уравнений. 7

§1.2 Некоторые свойства однородных разностных уравнений и

их решения. 9

§1.3 Общие понятия неоднородных линейных разностных уравнений. 13

Глава II. Осцилляционные свойства решений уравнения .

§2.1 Вспомогательные предложения. 17

§2.2Некоторые вопросы осцилляции решений уравнения . 19

Заключение. 33

Литература. 34

Введение

Актуальность темы. В связи с бурным развитием импульсной техники и применением компьютеров решения дифференциальных уравнений за последние годы значительно возрос интерес к теории уравнений в конечных разностях. За эти годы было опубликовано свыше 900 работ, посвященных различным вопросам теории конечно разностных уравнений. Эти уравнения применялись для решения прикладных задач механики, экономики, экологии, биологии, электроники (в том числе микроэлектроники), психологии, социологии. Вся математическая теория импульсных систем основана на теории конечно разностных уравнений.

Объектом данного исследования являются уравнения в конечных разностях

для различных значений α >0 (0<α<1, α=1, α>1) и колеблемость (осцилляции) решений этого уравнения.

Предметом изучения данного исследования и стали условия осцилляции, неосцилляции и асимптотические поведения решения вышенаписанного уравнения.

Целью работы являются исследования осцилляции и неосцилляции решения данного уравнения с помощью различных теорем и их доказательств. Для достижения намеченной цели необходимо последовательное доказательство вспомогательных теорем (лемм) методом от противного.

Степень изученности проблемы. Изучение разностных уравнений начато в ХVIII веке (например, см. Кушнир Е.А. Развитие теории разностных уравнений в ХVIII и в первой половине XIX века – канд. дисс.- Черновцы, 1960) и этой тема посвящена литература, изданная в XIX и в первой половине XX ( [1], [2], [5], [6], [7], [12], которых нет в библиотеках г.Уфы , но они указаны в списке литературы [3]), и начиная со второй половины XX века этому посвящены книги многих авторов( как советских и российских, так и зарубежных).

Начиная со второй половины XX века, проблеме исследования осцилляции решений дифференциальных, дифференциально – разностных, дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и разностных уравнений посвящена довольно обширная работа, напечатанных как в качестве отдельных статей, так и книг и монографий. Исследования осцилляции решений уравнений в конечных разностях были начаты Скалкиной М.А.([8]-[11]).

В работе [4] достаточно полно рассмотрены и анализированы работы по осцилляции решений разностных уравнений до 1998 года. В них исследуются достаточные, необходимые и достаточные, необходимые условия осцилляции и неосцилляции решений конечно разностных уравнений I, II, III, IV и n-го порядков (в том числе и уравнений с запаздыванием).

Источниковая база исследования. Для наших исследований взяты уравнения, леммы и теоремы работы [4] и они рассмотрены для уравнения нечетного порядка, доказана сформулированная в [4] теорема 19 для случая , а для остальных - проверены доказательства для уравнения нечетного порядка.

Методологической основой исследования является доказательство лемм и теорем методом от противного.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• в изучении научных работ последних лет по теме работы;

• доказательство теоремы, сформулированной в работе [4].

Новизной исследования поставленной задачи является само ознакомление с разностными уравнениями, их видами и решениями, дифференциальных уравнений с запаздывающим (отклоняющимся) аргументом, осцилляция и неосцилляция, асимптотика решений выше перечисленных уравнений, которые не рассматриваются в программе математического анализа и дифференциальных уравнений педагогических вузов.

Научно-практическая значимость исследования. Исследование носит теоретический характер, а его результаты могут быть использованы в исследованиях студентов вузов, аспирантов, интересующихся этой проблематикой, (т.е. теми, кто занимается качественным исследованием решений дифференциальных, разностных, дифференциально-разностных, функциональных, функционально-разностных уравнений).

Структура работы. В соответствии с поставленными целью и задачами исследования работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе дается понятие разностного уравнения и их решения, некоторые свойства однородных и неоднородных разностных уравнений. Вторая глава посвящена исследованию осцилляционных свойств решений уравнения

и формулируются вспомогательные предложения. Доказана, сформулированная в работе [4] теорема 19 для случая и уравнения .

Выдержка из текста работы

ГЛАВА I. ПОНЯТИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Некоторые обозначения и определения

N = {1,2,.,n,.} - множество натуральных чисел.

No ={no, no+1, no + 2,.}, где п0 N. Ø - пустое множество.

Z0={0} N, Z = {0, ±l, ±2,.}, R = (- ,+ ) - соответственно множества неотрицательных целых, целых, действительных (вещественных) чисел.

i = 1,2,.,n.

R_ = (- ,0), R+ = (0,+ ), _ = (-, 0], + = [0,+ ) - соответственно множества отрицательных, положительных, неположительных, неотрицательных действительных чисел.

Под х(к) понимается обобщенная степень

х(к) =х(х-1).(х- k + 1),где k Z.

Под у(п) понимается конечная разность

, где .

Под «разностным уравнением» будем понимать «уравнение в конечных разностях» (или то же самое «конечно разностное уравнение»). Под решением разностного уравнения будем понимать решение, продолжаемое вправо.

Решение рассматриваемого уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) назовем осциллирующим (или колеблющимся), если оно меняет знак на . В противном случае решение назовем не осциллирующим (или не колеблющимся).

§1.1. Общие понятия разностных уравнений

Разностным уравнением (обыкновенным – с одной независимой переменной x) называется функциональное уравнение, в которое неизвестная функция у = у(х) входит при различных значениях аргумента, а именно это есть уравнение вида

Ф(x, y(x + h0), y(x + hl),., y(x + hm)) = 0 (0.1)

Величины h0,h1.,hm называются отклонениями (аргумента), они могут быть постоянными и переменными. Когда все hk (к = 0,1,2) постоянны, их называют обычно разностями.

Функция у = у(х) является решением уравнения (0.1) на множестве Е, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество Е. Отметим одну особенность разностных уравнений: подставляя функцию у(х) в уравнение (0.1), должны требовать, чтобы для имели смысл все выражения у(х + ho), y(x + h1 ),…,у(х + hm), т.е. чтобы функция y(z) была определена в точках z = x + ho , x + h1,.,x + hm. Но если Е, то x + hk E + hk={z/z = x + hk , E}, - это есть множество Е, сдвинутое на вектор hk . Таким образом, множество М = (E + ho) (E + h1) . (E + hm), на котором функция у = у(х) определена, и множество Е, на котором она является решением уравнения (0.1), вообще говоря, не совпадают. Может оказаться даже Е М = 0. Но если h0 = 0, то всегда Е М.

Будем говорить, что решение у = у(х) определено (непрерывно, аналитично и т.п.) на множестве М, если функция у(х) определена (непрерывна, аналитична и т.п.) на множестве М и является решением уравнения (0.1) на множестве Е.

Если hk- целые числа, то (0.1) называется уравнением с целыми разностями. Оно называется уравнением второго порядка, когда hk=k (к=0,1,2) и в него явно входят у(х) и у(х + 2).

Укажем на связь разностных уравнений с уравнениями в конечных разностях. Пусть функция y(x) определена для всех значений x вида x = xo+kh, где хо и h > 0 - фиксированные числа, а к = 0,1,2,. или k Z. Конечной разностью первого порядка (с шагом h) функции у(х) в точке h называется величина у(х) = у(х + h)- у(х); оператор Δ, очевидно, линейный. Индуктивно вводятся разности второго, третьего, и т.д. порядков:

. Используя метод математической индукции, нетрудно установить формулы

, (0.2)

. (0.3)

Часто интересуются задачей: восстановить функцию у(х) по некоторому соотношению между ее разностями. В отличие от уравнения вида (0.1) и уравнения вида

Ф(х, у(х), у(х + 1),., у(х + т)) = 0,

уравнение

F(x, y(x), y(x),., my(x)) = 0 (0.4)

назовем уравнением в конечных разностях. Если в него явно входят m - я разность, число т назовем разностным порядком уравнения.

Для простоты будем считать xо = 0, h = 1 - к этому всегда можем перейти в результате замены t = (x-xo )/ h; имеем t = k. Если в уравнение (0,1) явно содержащее у(х + т), вместо у(х + п) (п = 0,1,2,.,т) подставить их выражение через разности по формуле (0.3), то придем к уравнению в конечных разностях порядком т. Наоборот, уравнение (0.4), пользуясь формулой (0.2), можно преобразовать к разностному уравнению (0.1), однако порядок последнего может оказаться меньше разностного порядка т. Например, уравнение 2у(х) + 3 (x) - y(x) = х разностного порядка т = 3 преобразуется в разностное уравнение Зу(х+2) - у(х+3)= х порядка 1.

§ 1.2. Некоторые свойства однородных разностных уравнений и их решения.

Рассмотрим линейное разностное уравнение первого порядка

, (1.1)

где Q(x) — заданная функция от х, ai—данные функции х, а f(x) — искомая функция, называется линейным уравнением порядка k; однородным, если Q(X) = 0, И неоднородным, если Q(х) 0. Воспользовавшись выражением р-й разности f(x) через f(x), f(x+1), f(x+2), ., т. е.

,

мы сможем уравнение (1.1) преобразовать к следующему:

f (х + к) + bxf (x + k — 1)+ .+bkf(x) = Q(x), (1.2)

где bi — некоторые функции х. Обратно, замечая, что при целом р справедливо равенство

,

мы всякое уравнение вида (1.2) сможем привести к виду (1.1). Итак, вместо того чтобы рассматривать решение уравнения (1.1), мы можем рассматривать уравнение (1.2); этот последний вид пред-почтительнее для исследований, поэтому мы и будем им пользо-ваться.

Мы построим общую теорию линейных разностных уравнений. В этой общей теории мы будем полагать коэффициенты линейного уравнения в форме (1.2) функциями от х.

Займемся сначала исследованием однородного уравнения. Итак, рас-смотрим разностное уравнение

f(x+k) + P1 (x)f(x+k— 1)+…+ Pk (x) f (x) = 0, (1.3)

где Р(х) — заданные функции от х. Будем опять считать х при-нимающим значения 0, 1, 2, . Функции Р1(х), Р2(х), ., Pk(x) будем считать имеющими конечные и определенные значения на этом множестве и Pk (x) не тождественно равной нулю на нем.

Каждое решение уравнения (1.3) определяется заданием начальных значений f(0)=f0, ., f(k—1)=fk-1.

Прежде всего мы можем доказать теорему.

Теорема 1. Если f1(х), f2(х), ., fp (х) — решения уравнения

f(x+k)+P1f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0, (1.3)

то и функция φ(x)

φ(x) = C1 f1 (х) + С2f2 (х)+. + Cnfp (х), (1.4)

где С1; С2, ., Сn —постоянные, будет также решением этого уравнения.

Доказательство. Положим Ро (х) = 1, тогда

.

Меняя во второй части порядок суммирования, получим ,

так как все fi(x) — частные решения нашего уравнения.

Значит, φ(x) — тоже решение уравнения, и теорема доказана.

Теперь мы можем доказать и теорему об общем решении линейного уравнения без правой части.

Теорема 2. Если f1(x), f2(x), . fk (х)— решения урав-нения (13):

f(x+k)+P1f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0,

0причем определитель

(1.5)

отличен от нуля, то общее решение нашего линейного однородного уравнения имеет вид

f(x)=C1f1(x)+ C2f2(x)+ …+Ckfk(x)

где С1 ,С2,.,Ck — произвольные постоянные.

Доказательство. Рассмотрим k решений уравнения (1.3) f1(x), f2{x),., fk(x), определяемых начальными значениями:

f1(0)=f11, f1(1)=f12, … f1(k-1)=f1k,

f2(0)=f21, f2(1)=f22, … f2(k-1)=f2k,

…

fk(0)=fk1, fk(1)=fk2 ,… fk(k-1)=fkk

и притом выбранными так (что, естественно, всегда можно сде-лать), чтобы определитель (1.5)

был отличен от нуля.

Заданием начальных значений функции f1(x), f2(х),.fk (x) полностью определяются на всей нашей последовательности х =0,1,., и значит, по первой теореме функция . φ(x). = C1f1(x)+…+Ckfk(x),

где все C1 ,С2 ,…,Ck — постоянные, также будет решением уравнения (13).

Легко показать, что все решения уравнении (1.3) содержатся в совокупности функций φ(x). Действительно, пусть мы имеем произвольное решение f(x). Оно вполне определяется заданием начальных значений f1,., fk. Выберем теперь из совокупности функций φ(x) такую, которая имела бы те же начальные значения. Иначе говоря, нам нужно найти такие постоянные С1, Сг, С3,.,Ск, чтобы были выполнены k равенств:

f1=φ(0)=C1f11+C2f12+…+Ckf1k

f2=φ(1)=C1f21+C2f22+…+Ckf2k

…

Fk=φ(k-1)=C1fk1+C2fk2+…+Ckfk

Но это можно сделать, н притом единственным образом, так как определитель системы отличен от нуля.

Решив эту систему линейных уравнений относительно С1, Сг, С3,.,Ск , мы найдем их значения и получим, таким образом, функцию φ(x), имеющую те же начальные значения, что и f(x). Но так как начальные значения определяют единственным образом функцию, удовлетворяющую уравнению (1.3), то φ(x) =f(x) (на множестве х = 0, 1, 2,.).

Тем самым теорема доказана.

Пример. Пусть требуется решить уравнение

f(x+4)+2f(x+3)+3f(x+2)+2f(x+1)+f(x)=0

при начальных условиях

f(0=)f(1)=f(3)=0, f(2)=-1.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

λ4+2λ3+3λ2+2λ+1=0,

или (λ2+λ+1)2=0, или

=0;

его корни:

, ;

поэтому общее решение будет

=

,

где (i=1, 2, 3, 4) – новые произвольные постоянные.

Воспользовавшись начальными условиями, составляем уравнения для определения этих постоянных:

откуда

Итак,

§ 1.3. Общие понятия неоднородных линейных разностных уравнений

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=Q(x).

Относительно неоднородного линейного уравнения имеет место теорема, аналогичная соответствующей теореме в теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного уравнения F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=Q(x) (1.6)

представляется в виде суммы частного его решения и общего решения линейного однородного уравнения

F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0, (1.7)

т. е. f(x)=f*(x)+C1f1(x)+…+Ckfk(x), (1.8)

где fi (x)— частные решения однородного уравнения и притом такие, что для них

D[f1(0),…fk(0)] 0.

Доказательство. Пусть f*(x)— любое решение нашего неоднородного уравнения. Заменим тогда f(x) через . f*(x)+ φ(x). Мы получим, полагая P0(x)=1, что

.

Так как f*(х) — решение нашего неоднородного уравнения, то

и, значит,

+P1(x) +…+Pk(x) )=0.

Но общее решение этого уравнения представляется, как это следует из теоремы 2, в виде

,

где fs(x), s=1, 2,., k,—частные решения однородного уравнения и притом такие, что

D[f1(0),…fk(0)] 0,

откуда и следует, что

f(x)=f*(x)+C1f1(x)+…+Ckfk(x).

Пример. Рассмотрим последовательность чисел, начинающихся с нуля и единицы, в которой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …(числа Фибонначи). Найти выражение общего члена последовательности.

Решение. Согласно условию задача сводится к решению конечно-разностного уравнения

f(x+2)=f(x+1)+f(x)

с постоянными коэффициентами при начальных условиях f(0)=0, f(1)=1; f(x) обозначает число Фибонначи номера х. Составляя характеристическое уравнение λ2 -λ-1=0, находим его корни

, ,

так что

Постоянные C1 и C2 определятся из начальных условий, т.е. из уравнения C1 + C2=0, ( C1 + C2)+ (C1 - C2)=2, решая которые найдем

, ,

и следовательно,

Заключение

Вспомогательные предложения

Лемма 1. Пусть функция у(п) при п> п0 не меняет знак вместе с y(n) и у(п) 2m-1у(п) 0. Тогда найдутся числа l {о,1,2,.,2m-2} и n n0 такие, что при n n1 выполняются неравенства

,( ), , , (2.1)

причем m-l нечетно и

( ). (2.2)

Доказательство. Пусть для определенности у(п) 0. Тогда ту(п) 0, а следовательно, существует конечный или бесконечный предел .

Ясно, что не может быть

Пусть . Тогда + , ( ). Следовательно, существует число n1 n0 такое, что iу(п)>0, ( )

при n n1 , т.е. l =т-1.

Пусть . Тогда 2m-2у(п) 0 при n n0 . Значит, существует предел , который, как и выше, не может быть отрицательным.

Пусть . Тогда, начиная с некоторого n1 n0 , выполняются неравенства , iу(п) 0 , ( ) , т.е. снова l = т -1.

Наконец, пусть . Тогда необходимо 2m-3у(п) 0 при n n0

Итак, мы пришли к рассмотренному случаю ( 2m-1у(п) 0 при п > п0). Далее, повторяя вышеприведенные рассуждения, в итоге придем к соотношениям (2.1) и (2.2).

Лемма 2. Пусть при п п0 функция у(п) не меняет знак и удовлетворяет неравенствам (2.1). Тогда

( ; ), (п п0), (2.4) если l 0, то

(п п0). (2.5)

Доказательство. Пусть для определенности у(п) > 0. Тогда в силу (2.1) имеем

,

откуда

(п п0).

Предположим теперь, что

(п n0) для некоторого i {2, 3, ., l+1}. Отсюда, пользуясь преобразованием Абеля ([58],стр.25О), находим

откуда

(п n0).

Таким образом, по индукции последнее неравенство доказано для i .Из них непосредственно следует (2.4).

Неравенство (2.5) следует из равенства

+ ,

которое получается (m-l)-кратным суммированием по частям.

Лемма 2 доказана.

§2.2. Некоторые вопросы осцилляции решений уравнения y(n)=0

Рассмотрим уравнение

y(n)=0 , (2.6)

где т > 2, α > 0, функция а(п) определена на множестве N0.

Ниже будем говорить, что уравнение (2.6) обладает свойством (А), (Б), (В), (Г), если выполняются соответственно утверждения:

а) каждое решение у(п) уравнения (2.6) осциллирует;

б) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо

0 ( ) при ;

в) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо + ( ) при

г) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо 0 , либо + ( ) при

Теорема 2.1. Если α 1 и

<+ , (2.7)

то c уравнение (2.6) имеет неосциллирующее решение у(п) такое, что

Доказательство. Возьмем число d > |с| и подберем п0 так, чтобы n0>т-1 и

. (2.8)

Покажем, что оператор А, определяемый равенством

y(k),

сжато отображает полное метрическое пространство р(у,0) = d в себя. Действительно, пусть р(y1,0) 2d, p(y2,0) 2d. Тогда в силу (2.8)

Имеем

и

.

Следовательно, согласно теореме Банаха, уравнение у = Ау имеет единственное решение у(п) такое, что р(у,0) 2d.

С учетом (2.7) легко показать, что для этого у(n) имеет место равенство

y(k) y(n).

Таким образом, у(п) является решением уравнения (2.6), при этом y(n) = с. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Пусть а(п) 0 и 0 < α < 1. Тогда условие

(2.9)

необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (Б).

Достаточность. Доказательство проведем методом от противного. Пусть выполняется условие (2.9), а уравнение(2.6) имеет неосциллирующее решение у(п), при этом у(п) не стремится к 0 при п . Пусть для определенности у(п) 0 (п п0). Легко видеть, что для него справедлива лемма 5, причем в силу (2.9) неравенства (2.1) будут строгими.

Пусть для этого решения l= 0.

Умножим обе части уравнения (2.6) на (n-n0+2m-2)2m-2 просуммируем от n0 до п. В результате будем иметь

(2.10)

В силу (2.1) и (2.10) последнее равенство противоречит (2.9). Следовательно, l .

Пусть l 1. Тогда прежде всего из (2.4) и (2.5) получаем

. (2.11)

С учетом последнего неравенства и (2.1) из уравнения (2.6) имеем

(n n1=n0+2m-1),

откуда

, c=[l!(2m-l-1)!]-α. (2.12)

Для левой части неравенства (2.12) имеет место оценка

=

= .

В силу последнего неравенство (2.12) противоречит (2.9). Итак, не может быть и этого случая. Этим достаточность условия (2.9) доказана.

Необходимость. Пусть сходится ряд . Покажем, что уравнение (2.6) имеет решение, неосциллирующее и не стремящееся к нулю при п . С этой целью возьмем число с 0 (пусть для определенности c>0 ). Фиксируем п0 так, чтобы

. (2.13)

Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.6), определяемое начальными данными: (i= ), . Покажем, что для этого

решения и тем самым будет доказана необходимость, а следовательно, теорема полностью.

Допустим противное, и пусть и, - самая левая точка, где

(легко убедиться, что n n1=n0+2m-2). Тогда с учетом начальных данных имеем

(i= ) ( ), (2.14)

откуда в силу (2.6)

( )

Суммирование этого неравенства от n0 до n-1 дает

( +1 ).

Однако, полученное неравенство выполняется и при п = n0, следовательно

( ).

Суммируя последнее неравенство т—1 раз от п0 до n с учетом (2.14) и формулы суммировании обобщенной степени

.

Находим

.

Имея в виду полученное и (2.13), из (2.6) находим

,

что противоречит определению точки п1. Теорема доказана.

Теорема 2.3Пусть а(п) 0 и а > 1. Тогда необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (Б) имеет вид

(2.15)

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 2.1. Докажем достаточность.

Допустим, что теорема неверна. Тогда уравнение (2.6) имеет решение у(п), для которого выполняется один из случаев:

а) т нечетно, выполняются неравенства (2.1) при l = 0 и ;

б) выполняются неравенства (2.1) при l {l, 2, m-l}, причем m-l

нечетно.

Невозможность случая а) доказывается так же, как и теорема 2.2. Перейдем к рассмотрению случая б).

Пусть для определенности у(п) > 0 при п n0. Тогда из уравнения (2.6) при п n0 получаем

.

Просуммировав первое слагаемое по частям с учетом формулы суммирования обобщенной степени и равенства

,

будем иметь

. (2.16)

Далее, из (2.5) и (2.6) имеем

( п n0).

С учетом этого и неравенств (2.1), а, также имея в виду, что 1, находим

.

Если иметь в виду неравенства (2.1), то в силу последнего

равенство (2.16) противоречит условию (2.15). Следовательно, невозможен и случай б). Теорема доказана.

Теорема 2.4. Пусть а(п) 0, α=1и

, (2.17)

где φ(п) не убывает на и . Тогда уравнение (2.6) и обладает свойством (Б).

Доказательство. Допустим, что теорема 2.4неверна. Тогда уравнение (2.6) имеет неосциллирующее решение у(п), для которого выполняется один из случаев а) и б) доказательства теоремы 2.3. Невозможность случая а) доказывается так же, как и в теореме 2.2. Рассмотрим случай б).

Пусть для определенности у(n)>0 при п n0. Умножим обе части уравнении (2.6) на (п-по+2m-2)(2m-2)( (n)y(n))-1 просуммируем от п0 до n. Далее, рассуждая так же, как и в случае б) доказательства теоремы 2.3, заключаем, что для завершения доказательства теоремы 2.4 достаточно показать, что

.

С учетом (2.1), (2.11) и l 1

имеем

,

n1=n0+2m-3. Теорема доказана.

Теорема 2.5. Пусть а(п) 0 и 0 < α< 1. Тогда условие

(2.18)

необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (В).

Доказательство. Пусть решение у(п) уравнения (2.6) не осциллирует и для определенности у(п) 0 (п п0). Легко видеть, что для этого решения в силу (2.18) неравенства (2.1) и (2.3) будут строгими. Если выполняются неравенства (2.1), то доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2.

Пусть выполняются неравенства (2.3). Из а(п) 0, у(п) 0 (п п0) и из (2.6) имеем ту(п) 0 (п п0) , откуда

(п п0) ,

т.е.

(п п0).

Суммируя последнее неравенство m-1 раз от п0 до п с учетом формулы суммирования обобщенной степени и неравенств (i= ), которые следуют из (2.3),получаем

(п п0),

откуда

(п п0+2m-2).

С учетом этого неравенства и (2.18) из (2.6) имеем

при .

Достаточность доказана.

Необходимость. Пусть

. (2.19)

Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.6), определяемое начальными

данными: (i= ), . Покажем, что

, (2.20)

. (2.21)

С этой целью докажем, что

(i= ). (2.22)

При n = п0 неравенства (2.22) следуют из начальных данных и из (2.6). Пусть неравенства (2.22) соблюдаются при п = к. Тогда из равенства . Имеем

(i= ), а из (2.6) - ту(к +1) 0, т.е. неравенства (2.22) соблюдаются при n= к +1.

Таким образом, методом математической индукции неравенства (2.22) доказаны .

Неравенство (2.20) следует из у(n0+2m-2) = с и у(п) > 0 , а (2.21) – из и .

Далее покажем, что и тем самым будет доказана необходимость условия (2.18), а следовательно, и теорема 16 полностью. С учетом начальных данных и (2.22) имеем

,

т.е.

п п0.

Суммируя последнее неравенство т - 2 раза от n0 до п с учетом начальных данных, (2.22) и формулы суммирования обобщенной степени, получаем

п п0.

В силу последнего неравенства из (2.6) при n > n0 +1 имеем

откуда с учетом (2.21) и (2.19) получим

.

Теорема 2.5 доказана.

Теорема 2.6. Пусть 0 < αi < 1 и

. (2.23)

Тогда при ( ) уравнение

=0 (2.24)

обладало свойством (Б) [(B)].

Доказательство. Достаточность. Доказательство проведем методом от противного. Пусть выполняется условие (2.23), а уравнение(2.24) имеет неосциллирующее решение у(п), при этом у(п) не стремится к 0 при п . Пусть для определенности у(п) 0 (п п0).

Пусть для этого решения l= 0.

Умножим обе части уравнения (2.24) на (n-n0+2m-2)2m-2 просуммируем от n0 до п. Получаем

(2.25)

В силу (2.1) последнее равенство противоречит (2.23). Следовательно, l .

Пусть l 1. Тогда из (2.4) и (2.5) получаем

. (2.26)

С учетом (2.26)и (2.1) из уравнения (2.24) имеем

(n n1=n0+2m-1),

откуда

, c=[l!(2m-l-1)!]-αi . (2.27)

Для левой части неравенства (2.27) имеет место оценка

= =

= .

В силу последнего неравенство (2.27) противоречит (2.23). Итак, не может быть и этого случая. Этим достаточность условия (2.23) доказана.

Необходимость. Пусть сходится ряд . Покажем, что уравнение (2.24) имеет решение, неосциллирующее и не стремящееся к нулю при п . С этой целью возьмем число с 0 (пусть для определенности c>0). Фиксируем п0 так, чтобы

. (2.28)

Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.24), определяемое начальными данными: (i= ), . Покажем, что для этого решения и тем самым будет доказана необходимость, а следовательно, теорема полностью.

Допустим противное, и пусть - самая левая точка, где (легко убедиться, что n n1=n0+2m-2). Тогда с учетом начальных данных имеем

(i= ) ( ), (2.29)

откуда в силу (2.24)

( ).

Суммирование этого неравенства от n0 до n-1 дает

( +1 ).

Однако, полученное неравенство выполняется и при п = n0, следовательно

( ).

Суммируя последнее неравенство т—1 раз от п0 до n с учетом (2.29) и формулы суммировании обобщенной степени

.

Находим

.

Имея в виду полученное и (2.28), из (2.24) находим

что противоречит определению точки п1. Теорема доказана.

В данной работе было изучено осцилляции решения уравнения в конечных разностях

для различных значений , которое рассмотрено в работе [4].

Была доказана методом от противного, сформулированная в работе [4], теорема 19 для случая и уравнения .

Список литературы

2. Бернштейн С.Н. Исчисление конечных разностей. Харьков, 1913.

3. Быков Я.В. Осцилляция решений операторно разностных уравнений с конечными разностями первого порядка.- Фрунзе: Илим, 1985.

4. Гайнуллин М.Н. Осцилляция решений некоторых разностных уравнений высшего порядка.- Уфа: Башгоспединститут, 1999.

5. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. ГИТТА,1967.

6. Марков А.А. Исчисление конечных разностей. Одесса, 1910.

7. Преображенский В.В. Разностное исчисление. Одесса, 1891.

8. Скалкина М.А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным. // ДАНСССР. 1995.- Т.104.№5.

9. Скалкина М.А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений. // ПММ. 1985.- Т.19. №3.

10. Скалкина М.А. Об устойчивости по первому приближению систем к уравнению в конечных разностях. // Тр. Уральск. политехн. ин-та, 1958.

11. Скалкина М.А. О колебаниях решений уравнений в конечных разностях. // Изв. Вузов: Математика. 1959. №6.

12. Тихомандрицкий М. Курс теории конечных разностей. Харьков,1890.

13. Agarwal Ravi P.,Wong Patricia J. On the oscillation of nonlinear difference equations second order. // Math. Inegual. and Appl. - 1998.- 1, №3. – c.349 -365.

14. Agarwal Ravi P., Grace S.R. Oscillation of certain third-order difference quations. // Comput. and Math. Appl. 2001. 42, № 3-5, c. 379-384.

15. Boole G.A. Atreatise on the calculus of finite differences, Gambridge, 1860.

16. Cheng Sui, Lin Yi-Zhong. Complete characteristic oscillation of neutral difference equations. // J. Math. Anal. and Appl. - 1998. - 221, №1.- c. 73-91.

17. Cogan E.I., Norman R.Z. Handbook of calculus difference and differential equations, 1958.

18. Enestrom G.H. Differenskalkulens historial. – Upsala UniversitetsArsskrift, 1987, math. orh. nat., №1.

19. Fu Sheng-Chen, Tsai Long-li. Oscillation of nonlinear neutral difference equations.// Comput. and Math. Appl. – 1998. – 36, № 10-12. – c.193 - 210.

20. Grace S.P., Abadeer A.A. On the oscillation second order difference equations.// Commun. Appl. Anal.- 1998. -2, №4. – c.447 – 455.

21. Grzegorczyk G., Werbowwski J. oscillation of highheroeder linear difference equations.// Comput. and Math. Appl. 2001.42, № 3 – 5, c.711 – 717.

22. Jiang J.C., Tang X.H. Oscillation of nonlinear delay difference equations. // J. Comput. and Math. Appl. 2002.146, № 2, c.395 – 404.

23. Liu Jinolo, Lio Zhiguang, Li Xuechen. Oscillation first order with variable coefficient difference equations. //Sluixe lilin yingyong = Math. Theor. and Appl.- 1999. – 19, № 1. c.98 - 102.

24. Li Wan Tong, Cheng Sui Sun. Criterion oscillation nonlinear difference equations.// Comput. and Math. – 1998, - 36, №8, - c.87 – 94.

25. Lu Ping, Zhang Xiao. Oscillation for a sort of difference equations. //Hua bei gongxueyuan xuebao = J. N. China Inst. Technol. 2001022, №5, с.373 – 375.

26. Milne – Thomson L.M. The calculus of finite differences. London, 1933.

27. Nörlund N.E. Differenzerechung. Berlin, 1924.

28. Nörlund N.E. Vorlesung über Differenzenrechnung. Berlin: verlag von J. Springer, 19924.

29. Peng Mingshu. Oscillation criteria for second- order impulsive delay difference equations. // Appl. Math. and Comput. 2003.143, №1, c.227 – 235.

30. Parhi N. Oscillation of order difference equations.// Proc. Indian Acad. Sci. math. Sci. 200.110, №2, c.147 - 155.

31. Saker S.H. Oscillation theorems of nonlinear difference equations of cecond order. // Georg. Math. J. 2003.10, №2, c.343 - 352.

32. Saker S.H. Oscillation theorems for second – order nonlinear delay difference equations. // Period. Math. hung. 2003.47, № 1-2, c.201 – 213.

33. Shen Jianhua, Luo Zhiguo. Come oscillation criteria for difference equations. // Comput. and Math. appl. 200.30, № 6-7, с.713 – 719.

34. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillation and nonoscillation of quasilinear difference equations of second order. // Glas. mat. Hrv. mat. druš. 1998.33, № 2, c.223 – 238.

35. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillatiory behavior of quasilinear difference equations of second order. // Indian. J. Pure and Appl. Math. 2000.31, №7, c.773 – 782.

36. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillation theorems of nonlinear difference equations . // Anal. and Anwed. 1998.17, № 2, c.513 – 519.

37. Thandapani E., Arockiasamy I.M. Oscillatiry and asymptotic properties of solutions of nonlinear fourth order difference equations. // Glas. mat. Hrv. mat. druš. 2002.37. № 1, c.119 – 131.

38. Thandapani E., Arockiasamy I.M. Fonth – order nonlinear oscillations of difference equations. // Comput. and Math. Appl.2001.42, № 3-5, c.357 – 368.