СтудСфера.Ру - помогаем студентам в учёбе

У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

Разностные уравнения и поведение их решений - Дипломная работа №33455

«Разностные уравнения и поведение их решений» - Дипломная работа

  • 35 страниц(ы)

Содержание

Введение

Выдержка из текста работы

Заключение

Список литературы

фото автора

Автор: navip

Содержание

Введение. 3

Глава I. Понятия разностных уравнений.

§1.1 Общие понятия разностных уравнений. 7

§1.2 Некоторые свойства однородных разностных уравнений и

их решения. 9

§1.3 Общие понятия неоднородных линейных разностных уравнений. 13

Глава II. Осцилляционные свойства решений уравнения .

§2.1 Вспомогательные предложения. 17

§2.2Некоторые вопросы осцилляции решений уравнения . 19

Заключение. 33

Литература. 34


Введение

Актуальность темы. В связи с бурным развитием импульсной техники и применением компьютеров решения дифференциальных уравнений за последние годы значительно возрос интерес к теории уравнений в конечных разностях. За эти годы было опубликовано свыше 900 работ, посвященных различным вопросам теории конечно разностных уравнений. Эти уравнения применялись для решения прикладных задач механики, экономики, экологии, биологии, электроники (в том числе микроэлектроники), психологии, социологии. Вся математическая теория импульсных систем основана на теории конечно разностных уравнений.

Объектом данного исследования являются уравнения в конечных разностях

для различных значений α >0 (0<α<1, α=1, α>1) и колеблемость (осцилляции) решений этого уравнения.

Предметом изучения данного исследования и стали условия осцилляции, неосцилляции и асимптотические поведения решения вышенаписанного уравнения.

Целью работы являются исследования осцилляции и неосцилляции решения данного уравнения с помощью различных теорем и их доказательств. Для достижения намеченной цели необходимо последовательное доказательство вспомогательных теорем (лемм) методом от противного.

Степень изученности проблемы. Изучение разностных уравнений начато в ХVIII веке (например, см. Кушнир Е.А. Развитие теории разностных уравнений в ХVIII и в первой половине XIX века – канд. дисс.- Черновцы, 1960) и этой тема посвящена литература, изданная в XIX и в первой половине XX ( [1], [2], [5], [6], [7], [12], которых нет в библиотеках г.Уфы , но они указаны в списке литературы [3]), и начиная со второй половины XX века этому посвящены книги многих авторов( как советских и российских, так и зарубежных).

Начиная со второй половины XX века, проблеме исследования осцилляции решений дифференциальных, дифференциально – разностных, дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и разностных уравнений посвящена довольно обширная работа, напечатанных как в качестве отдельных статей, так и книг и монографий. Исследования осцилляции решений уравнений в конечных разностях были начаты Скалкиной М.А.([8]-[11]).

В работе [4] достаточно полно рассмотрены и анализированы работы по осцилляции решений разностных уравнений до 1998 года. В них исследуются достаточные, необходимые и достаточные, необходимые условия осцилляции и неосцилляции решений конечно разностных уравнений I, II, III, IV и n-го порядков (в том числе и уравнений с запаздыванием).

Источниковая база исследования. Для наших исследований взяты уравнения, леммы и теоремы работы [4] и они рассмотрены для уравнения нечетного порядка, доказана сформулированная в [4] теорема 19 для случая , а для остальных - проверены доказательства для уравнения нечетного порядка.

Методологической основой исследования является доказательство лемм и теорем методом от противного.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• в изучении научных работ последних лет по теме работы;

• доказательство теоремы, сформулированной в работе [4].

Новизной исследования поставленной задачи является само ознакомление с разностными уравнениями, их видами и решениями, дифференциальных уравнений с запаздывающим (отклоняющимся) аргументом, осцилляция и неосцилляция, асимптотика решений выше перечисленных уравнений, которые не рассматриваются в программе математического анализа и дифференциальных уравнений педагогических вузов.

Научно-практическая значимость исследования. Исследование носит теоретический характер, а его результаты могут быть использованы в исследованиях студентов вузов, аспирантов, интересующихся этой проблематикой, (т.е. теми, кто занимается качественным исследованием решений дифференциальных, разностных, дифференциально-разностных, функциональных, функционально-разностных уравнений).

Структура работы. В соответствии с поставленными целью и задачами исследования работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе дается понятие разностного уравнения и их решения, некоторые свойства однородных и неоднородных разностных уравнений. Вторая глава посвящена исследованию осцилляционных свойств решений уравнения

и формулируются вспомогательные предложения. Доказана, сформулированная в работе [4] теорема 19 для случая и уравнения .


Выдержка из текста работы

ГЛАВА I. ПОНЯТИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Некоторые обозначения и определения

N = {1,2,.,n,.} - множество натуральных чисел.

No ={no, no+1, no + 2,.}, где п0 N. Ø - пустое множество.

Z0={0} N, Z = {0, ±l, ±2,.}, R = (- ,+ ) - соответственно множества неотрицательных целых, целых, действительных (вещественных) чисел.

i = 1,2,.,n.

R_ = (- ,0), R+ = (0,+ ), _ = (-, 0], + = [0,+ ) - соответственно множества отрицательных, положительных, неположительных, неотрицательных действительных чисел.

Под х(к) понимается обобщенная степень

х(к) =х(х-1).(х- k + 1),где k Z.

Под у(п) понимается конечная разность

, где .

Под «разностным уравнением» будем понимать «уравнение в конечных разностях» (или то же самое «конечно разностное уравнение»). Под решением разностного уравнения будем понимать решение, продолжаемое вправо.

Решение рассматриваемого уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) назовем осциллирующим (или колеблющимся), если оно меняет знак на . В противном случае решение назовем не осциллирующим (или не колеблющимся).

§1.1. Общие понятия разностных уравнений

Разностным уравнением (обыкновенным – с одной независимой переменной x) называется функциональное уравнение, в которое неизвестная функция у = у(х) входит при различных значениях аргумента, а именно это есть уравнение вида

Ф(x, y(x + h0), y(x + hl),., y(x + hm)) = 0 (0.1)

Величины h0,h1.,hm называются отклонениями (аргумента), они могут быть постоянными и переменными. Когда все hk (к = 0,1,2) постоянны, их называют обычно разностями.

Функция у = у(х) является решением уравнения (0.1) на множестве Е, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество Е. Отметим одну особенность разностных уравнений: подставляя функцию у(х) в уравнение (0.1), должны требовать, чтобы для имели смысл все выражения у(х + ho), y(x + h1 ),…,у(х + hm), т.е. чтобы функция y(z) была определена в точках z = x + ho , x + h1,.,x + hm. Но если Е, то x + hk E + hk={z/z = x + hk , E}, - это есть множество Е, сдвинутое на вектор hk . Таким образом, множество М = (E + ho) (E + h1) . (E + hm), на котором функция у = у(х) определена, и множество Е, на котором она является решением уравнения (0.1), вообще говоря, не совпадают. Может оказаться даже Е М = 0. Но если h0 = 0, то всегда Е М.

Будем говорить, что решение у = у(х) определено (непрерывно, аналитично и т.п.) на множестве М, если функция у(х) определена (непрерывна, аналитична и т.п.) на множестве М и является решением уравнения (0.1) на множестве Е.

Если hk- целые числа, то (0.1) называется уравнением с целыми разностями. Оно называется уравнением второго порядка, когда hk=k (к=0,1,2) и в него явно входят у(х) и у(х + 2).

Укажем на связь разностных уравнений с уравнениями в конечных разностях. Пусть функция y(x) определена для всех значений x вида x = xo+kh, где хо и h > 0 - фиксированные числа, а к = 0,1,2,. или k Z. Конечной разностью первого порядка (с шагом h) функции у(х) в точке h называется величина у(х) = у(х + h)- у(х); оператор Δ, очевидно, линейный. Индуктивно вводятся разности второго, третьего, и т.д. порядков:

. Используя метод математической индукции, нетрудно установить формулы

, (0.2)

. (0.3)

Часто интересуются задачей: восстановить функцию у(х) по некоторому соотношению между ее разностями. В отличие от уравнения вида (0.1) и уравнения вида

Ф(х, у(х), у(х + 1),., у(х + т)) = 0,

уравнение

F(x, y(x), y(x),., my(x)) = 0 (0.4)

назовем уравнением в конечных разностях. Если в него явно входят m - я разность, число т назовем разностным порядком уравнения.

Для простоты будем считать xо = 0, h = 1 - к этому всегда можем перейти в результате замены t = (x-xo )/ h; имеем t = k. Если в уравнение (0,1) явно содержащее у(х + т), вместо у(х + п) (п = 0,1,2,.,т) подставить их выражение через разности по формуле (0.3), то придем к уравнению в конечных разностях порядком т. Наоборот, уравнение (0.4), пользуясь формулой (0.2), можно преобразовать к разностному уравнению (0.1), однако порядок последнего может оказаться меньше разностного порядка т. Например, уравнение 2у(х) + 3 (x) - y(x) = х разностного порядка т = 3 преобразуется в разностное уравнение Зу(х+2) - у(х+3)= х порядка 1.

§ 1.2. Некоторые свойства однородных разностных уравнений и их решения.

Рассмотрим линейное разностное уравнение первого порядка

, (1.1)

где Q(x) — заданная функция от х, ai—данные функции х, а f(x) — искомая функция, называется линейным уравнением порядка k; однородным, если Q(X) = 0, И неоднородным, если Q(х) 0. Воспользовавшись выражением р-й разности f(x) через f(x), f(x+1), f(x+2), ., т. е.

,

мы сможем уравнение (1.1) преобразовать к следующему:

f (х + к) + bxf (x + k — 1)+ .+bkf(x) = Q(x), (1.2)

где bi — некоторые функции х. Обратно, замечая, что при целом р справедливо равенство

,

мы всякое уравнение вида (1.2) сможем привести к виду (1.1). Итак, вместо того чтобы рассматривать решение уравнения (1.1), мы можем рассматривать уравнение (1.2); этот последний вид пред-почтительнее для исследований, поэтому мы и будем им пользо-ваться.

Мы построим общую теорию линейных разностных уравнений. В этой общей теории мы будем полагать коэффициенты линейного уравнения в форме (1.2) функциями от х.

Займемся сначала исследованием однородного уравнения. Итак, рас-смотрим разностное уравнение

f(x+k) + P1 (x)f(x+k— 1)+…+ Pk (x) f (x) = 0, (1.3)

где Р(х) — заданные функции от х. Будем опять считать х при-нимающим значения 0, 1, 2, . Функции Р1(х), Р2(х), ., Pk(x) будем считать имеющими конечные и определенные значения на этом множестве и Pk (x) не тождественно равной нулю на нем.

Каждое решение уравнения (1.3) определяется заданием начальных значений f(0)=f0, ., f(k—1)=fk-1.

Прежде всего мы можем доказать теорему.

Теорема 1. Если f1(х), f2(х), ., fp (х) — решения уравнения

f(x+k)+P1f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0, (1.3)

то и функция φ(x)

φ(x) = C1 f1 (х) + С2f2 (х)+. + Cnfp (х), (1.4)

где С1; С2, ., Сn —постоянные, будет также решением этого уравнения.

Доказательство. Положим Ро (х) = 1, тогда

.

Меняя во второй части порядок суммирования, получим ,

так как все fi(x) — частные решения нашего уравнения.

Значит, φ(x) — тоже решение уравнения, и теорема доказана.

Теперь мы можем доказать и теорему об общем решении линейного уравнения без правой части.

Теорема 2. Если f1(x), f2(x), . fk (х)— решения урав-нения (13):

f(x+k)+P1f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0,

0причем определитель

(1.5)

отличен от нуля, то общее решение нашего линейного однородного уравнения имеет вид

f(x)=C1f1(x)+ C2f2(x)+ …+Ckfk(x)

где С1 ,С2,.,Ck — произвольные постоянные.

Доказательство. Рассмотрим k решений уравнения (1.3) f1(x), f2{x),., fk(x), определяемых начальными значениями:

f1(0)=f11, f1(1)=f12, … f1(k-1)=f1k,

f2(0)=f21, f2(1)=f22, … f2(k-1)=f2k,

fk(0)=fk1, fk(1)=fk2 ,… fk(k-1)=fkk

и притом выбранными так (что, естественно, всегда можно сде-лать), чтобы определитель (1.5)

был отличен от нуля.

Заданием начальных значений функции f1(x), f2(х),.fk (x) полностью определяются на всей нашей последовательности х =0,1,., и значит, по первой теореме функция . φ(x). = C1f1(x)+…+Ckfk(x),

где все C1 ,С2 ,…,Ck — постоянные, также будет решением уравнения (13).

Легко показать, что все решения уравнении (1.3) содержатся в совокупности функций φ(x). Действительно, пусть мы имеем произвольное решение f(x). Оно вполне определяется заданием начальных значений f1,., fk. Выберем теперь из совокупности функций φ(x) такую, которая имела бы те же начальные значения. Иначе говоря, нам нужно найти такие постоянные С1, Сг, С3,.,Ск, чтобы были выполнены k равенств:

f1=φ(0)=C1f11+C2f12+…+Ckf1k

f2=φ(1)=C1f21+C2f22+…+Ckf2k

Fk=φ(k-1)=C1fk1+C2fk2+…+Ckfk

Но это можно сделать, н притом единственным образом, так как определитель системы отличен от нуля.

Решив эту систему линейных уравнений относительно С1, Сг, С3,.,Ск , мы найдем их значения и получим, таким образом, функцию φ(x), имеющую те же начальные значения, что и f(x). Но так как начальные значения определяют единственным образом функцию, удовлетворяющую уравнению (1.3), то φ(x) =f(x) (на множестве х = 0, 1, 2,.).

Тем самым теорема доказана.

Пример. Пусть требуется решить уравнение

f(x+4)+2f(x+3)+3f(x+2)+2f(x+1)+f(x)=0

при начальных условиях

f(0=)f(1)=f(3)=0, f(2)=-1.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

λ4+2λ3+3λ2+2λ+1=0,

или (λ2+λ+1)2=0, или

=0;

его корни:

, ;

поэтому общее решение будет

=

,

где (i=1, 2, 3, 4) – новые произвольные постоянные.

Воспользовавшись начальными условиями, составляем уравнения для определения этих постоянных:

откуда

Итак,

§ 1.3. Общие понятия неоднородных линейных разностных уравнений

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=Q(x).

Относительно неоднородного линейного уравнения имеет место теорема, аналогичная соответствующей теореме в теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного уравнения F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=Q(x) (1.6)

представляется в виде суммы частного его решения и общего решения линейного однородного уравнения

F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0, (1.7)

т. е. f(x)=f*(x)+C1f1(x)+…+Ckfk(x), (1.8)

где fi (x)— частные решения однородного уравнения и притом такие, что для них

D[f1(0),…fk(0)] 0.

Доказательство. Пусть f*(x)— любое решение нашего неоднородного уравнения. Заменим тогда f(x) через . f*(x)+ φ(x). Мы получим, полагая P0(x)=1, что

.

Так как f*(х) — решение нашего неоднородного уравнения, то

и, значит,

+P1(x) +…+Pk(x) )=0.

Но общее решение этого уравнения представляется, как это следует из теоремы 2, в виде

,

где fs(x), s=1, 2,., k,—частные решения однородного уравнения и притом такие, что

D[f1(0),…fk(0)] 0,

откуда и следует, что

f(x)=f*(x)+C1f1(x)+…+Ckfk(x).

Пример. Рассмотрим последовательность чисел, начинающихся с нуля и единицы, в которой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …(числа Фибонначи). Найти выражение общего члена последовательности.

Решение. Согласно условию задача сводится к решению конечно-разностного уравнения

f(x+2)=f(x+1)+f(x)

с постоянными коэффициентами при начальных условиях f(0)=0, f(1)=1; f(x) обозначает число Фибонначи номера х. Составляя характеристическое уравнение λ2 -λ-1=0, находим его корни

, ,

так что

Постоянные C1 и C2 определятся из начальных условий, т.е. из уравнения C1 + C2=0, ( C1 + C2)+ (C1 - C2)=2, решая которые найдем

, ,

и следовательно,


Заключение

Вспомогательные предложения

Лемма 1. Пусть функция у(п) при п> п0 не меняет знак вместе с y(n) и у(п) 2m-1у(п) 0. Тогда найдутся числа l {о,1,2,.,2m-2} и n n0 такие, что при n n1 выполняются неравенства

,( ), , , (2.1)

причем m-l нечетно и

( ). (2.2)

Доказательство. Пусть для определенности у(п) 0. Тогда ту(п) 0, а следовательно, существует конечный или бесконечный предел .

Ясно, что не может быть

Пусть . Тогда + , ( ). Следовательно, существует число n1 n0 такое, что iу(п)>0, ( )

при n n1 , т.е. l =т-1.

Пусть . Тогда 2m-2у(п) 0 при n n0 . Значит, существует предел , который, как и выше, не может быть отрицательным.

Пусть . Тогда, начиная с некоторого n1 n0 , выполняются неравенства , iу(п) 0 , ( ) , т.е. снова l = т -1.

Наконец, пусть . Тогда необходимо 2m-3у(п) 0 при n n0

Итак, мы пришли к рассмотренному случаю ( 2m-1у(п) 0 при п > п0). Далее, повторяя вышеприведенные рассуждения, в итоге придем к соотношениям (2.1) и (2.2).

Лемма 2. Пусть при п п0 функция у(п) не меняет знак и удовлетворяет неравенствам (2.1). Тогда

( ; ), (п п0), (2.4) если l 0, то

(п п0). (2.5)

Доказательство. Пусть для определенности у(п) > 0. Тогда в силу (2.1) имеем

,

откуда

(п п0).

Предположим теперь, что

(п n0) для некоторого i {2, 3, ., l+1}. Отсюда, пользуясь преобразованием Абеля ([58],стр.25О), находим

откуда

(п n0).

Таким образом, по индукции последнее неравенство доказано для i .Из них непосредственно следует (2.4).

Неравенство (2.5) следует из равенства

+ ,

которое получается (m-l)-кратным суммированием по частям.

Лемма 2 доказана.

§2.2. Некоторые вопросы осцилляции решений уравнения y(n)=0

Рассмотрим уравнение

y(n)=0 , (2.6)

где т > 2, α > 0, функция а(п) определена на множестве N0.

Ниже будем говорить, что уравнение (2.6) обладает свойством (А), (Б), (В), (Г), если выполняются соответственно утверждения:

а) каждое решение у(п) уравнения (2.6) осциллирует;

б) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо

0 ( ) при ;

в) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо + ( ) при

г) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо 0 , либо + ( ) при

Теорема 2.1. Если α 1 и

<+ , (2.7)

то c уравнение (2.6) имеет неосциллирующее решение у(п) такое, что

Доказательство. Возьмем число d > |с| и подберем п0 так, чтобы n0>т-1 и

. (2.8)

Покажем, что оператор А, определяемый равенством

y(k),

сжато отображает полное метрическое пространство р(у,0) = d в себя. Действительно, пусть р(y1,0) 2d, p(y2,0) 2d. Тогда в силу (2.8)

Имеем

и

.

Следовательно, согласно теореме Банаха, уравнение у = Ау имеет единственное решение у(п) такое, что р(у,0) 2d.

С учетом (2.7) легко показать, что для этого у(n) имеет место равенство

y(k) y(n).

Таким образом, у(п) является решением уравнения (2.6), при этом y(n) = с. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Пусть а(п) 0 и 0 < α < 1. Тогда условие

(2.9)

необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (Б).

Достаточность. Доказательство проведем методом от противного. Пусть выполняется условие (2.9), а уравнение(2.6) имеет неосциллирующее решение у(п), при этом у(п) не стремится к 0 при п . Пусть для определенности у(п) 0 (п п0). Легко видеть, что для него справедлива лемма 5, причем в силу (2.9) неравенства (2.1) будут строгими.

Пусть для этого решения l= 0.

Умножим обе части уравнения (2.6) на (n-n0+2m-2)2m-2 просуммируем от n0 до п. В результате будем иметь

(2.10)

В силу (2.1) и (2.10) последнее равенство противоречит (2.9). Следовательно, l .

Пусть l 1. Тогда прежде всего из (2.4) и (2.5) получаем

. (2.11)

С учетом последнего неравенства и (2.1) из уравнения (2.6) имеем

(n n1=n0+2m-1),

откуда

, c=[l!(2m-l-1)!]-α. (2.12)

Для левой части неравенства (2.12) имеет место оценка

=

= .

В силу последнего неравенство (2.12) противоречит (2.9). Итак, не может быть и этого случая. Этим достаточность условия (2.9) доказана.

Необходимость. Пусть сходится ряд . Покажем, что уравнение (2.6) имеет решение, неосциллирующее и не стремящееся к нулю при п . С этой целью возьмем число с 0 (пусть для определенности c>0 ). Фиксируем п0 так, чтобы

. (2.13)

Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.6), определяемое начальными данными: (i= ), . Покажем, что для этого

решения и тем самым будет доказана необходимость, а следовательно, теорема полностью.

Допустим противное, и пусть и, - самая левая точка, где

(легко убедиться, что n n1=n0+2m-2). Тогда с учетом начальных данных имеем

(i= ) ( ), (2.14)

откуда в силу (2.6)

( )

Суммирование этого неравенства от n0 до n-1 дает

( +1 ).

Однако, полученное неравенство выполняется и при п = n0, следовательно

( ).

Суммируя последнее неравенство т—1 раз от п0 до n с учетом (2.14) и формулы суммировании обобщенной степени

.

Находим

.

Имея в виду полученное и (2.13), из (2.6) находим

,

что противоречит определению точки п1. Теорема доказана.

Теорема 2.3Пусть а(п) 0 и а > 1. Тогда необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (Б) имеет вид

(2.15)

Доказательство. Необходимость следует из теоремы 2.1. Докажем достаточность.

Допустим, что теорема неверна. Тогда уравнение (2.6) имеет решение у(п), для которого выполняется один из случаев:

а) т нечетно, выполняются неравенства (2.1) при l = 0 и ;

б) выполняются неравенства (2.1) при l {l, 2, m-l}, причем m-l

нечетно.

Невозможность случая а) доказывается так же, как и теорема 2.2. Перейдем к рассмотрению случая б).

Пусть для определенности у(п) > 0 при п n0. Тогда из уравнения (2.6) при п n0 получаем

.

Просуммировав первое слагаемое по частям с учетом формулы суммирования обобщенной степени и равенства

,

будем иметь

. (2.16)

Далее, из (2.5) и (2.6) имеем

( п n0).

С учетом этого и неравенств (2.1), а, также имея в виду, что 1, находим

.

Если иметь в виду неравенства (2.1), то в силу последнего

равенство (2.16) противоречит условию (2.15). Следовательно, невозможен и случай б). Теорема доказана.

Теорема 2.4. Пусть а(п) 0, α=1и

, (2.17)

где φ(п) не убывает на и . Тогда уравнение (2.6) и обладает свойством (Б).

Доказательство. Допустим, что теорема 2.4неверна. Тогда уравнение (2.6) имеет неосциллирующее решение у(п), для которого выполняется один из случаев а) и б) доказательства теоремы 2.3. Невозможность случая а) доказывается так же, как и в теореме 2.2. Рассмотрим случай б).

Пусть для определенности у(n)>0 при п n0. Умножим обе части уравнении (2.6) на (п-по+2m-2)(2m-2)( (n)y(n))-1 просуммируем от п0 до n. Далее, рассуждая так же, как и в случае б) доказательства теоремы 2.3, заключаем, что для завершения доказательства теоремы 2.4 достаточно показать, что

.

С учетом (2.1), (2.11) и l 1

имеем

,

n1=n0+2m-3. Теорема доказана.

Теорема 2.5. Пусть а(п) 0 и 0 < α< 1. Тогда условие

(2.18)

необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (В).

Доказательство. Пусть решение у(п) уравнения (2.6) не осциллирует и для определенности у(п) 0 (п п0). Легко видеть, что для этого решения в силу (2.18) неравенства (2.1) и (2.3) будут строгими. Если выполняются неравенства (2.1), то доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2.

Пусть выполняются неравенства (2.3). Из а(п) 0, у(п) 0 (п п0) и из (2.6) имеем ту(п) 0 (п п0) , откуда

(п п0) ,

т.е.

(п п0).

Суммируя последнее неравенство m-1 раз от п0 до п с учетом формулы суммирования обобщенной степени и неравенств (i= ), которые следуют из (2.3),получаем

(п п0),

откуда

(п п0+2m-2).

С учетом этого неравенства и (2.18) из (2.6) имеем

при .

Достаточность доказана.

Необходимость. Пусть

. (2.19)

Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.6), определяемое начальными

данными: (i= ), . Покажем, что

, (2.20)

. (2.21)

С этой целью докажем, что

(i= ). (2.22)

При n = п0 неравенства (2.22) следуют из начальных данных и из (2.6). Пусть неравенства (2.22) соблюдаются при п = к. Тогда из равенства . Имеем

(i= ), а из (2.6) - ту(к +1) 0, т.е. неравенства (2.22) соблюдаются при n= к +1.

Таким образом, методом математической индукции неравенства (2.22) доказаны .

Неравенство (2.20) следует из у(n0+2m-2) = с и у(п) > 0 , а (2.21) – из и .

Далее покажем, что и тем самым будет доказана необходимость условия (2.18), а следовательно, и теорема 16 полностью. С учетом начальных данных и (2.22) имеем

,

т.е.

п п0.

Суммируя последнее неравенство т - 2 раза от n0 до п с учетом начальных данных, (2.22) и формулы суммирования обобщенной степени, получаем

п п0.

В силу последнего неравенства из (2.6) при n > n0 +1 имеем

откуда с учетом (2.21) и (2.19) получим

.

Теорема 2.5 доказана.

Теорема 2.6. Пусть 0 < αi < 1 и

. (2.23)

Тогда при ( ) уравнение

=0 (2.24)

обладало свойством (Б) [(B)].

Доказательство. Достаточность. Доказательство проведем методом от противного. Пусть выполняется условие (2.23), а уравнение(2.24) имеет неосциллирующее решение у(п), при этом у(п) не стремится к 0 при п . Пусть для определенности у(п) 0 (п п0).

Пусть для этого решения l= 0.

Умножим обе части уравнения (2.24) на (n-n0+2m-2)2m-2 просуммируем от n0 до п. Получаем

(2.25)

В силу (2.1) последнее равенство противоречит (2.23). Следовательно, l .

Пусть l 1. Тогда из (2.4) и (2.5) получаем

. (2.26)

С учетом (2.26)и (2.1) из уравнения (2.24) имеем

(n n1=n0+2m-1),

откуда

, c=[l!(2m-l-1)!]-αi . (2.27)

Для левой части неравенства (2.27) имеет место оценка

= =

= .

В силу последнего неравенство (2.27) противоречит (2.23). Итак, не может быть и этого случая. Этим достаточность условия (2.23) доказана.

Необходимость. Пусть сходится ряд . Покажем, что уравнение (2.24) имеет решение, неосциллирующее и не стремящееся к нулю при п . С этой целью возьмем число с 0 (пусть для определенности c>0). Фиксируем п0 так, чтобы

. (2.28)

Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.24), определяемое начальными данными: (i= ), . Покажем, что для этого решения и тем самым будет доказана необходимость, а следовательно, теорема полностью.

Допустим противное, и пусть - самая левая точка, где (легко убедиться, что n n1=n0+2m-2). Тогда с учетом начальных данных имеем

(i= ) ( ), (2.29)

откуда в силу (2.24)

( ).

Суммирование этого неравенства от n0 до n-1 дает

( +1 ).

Однако, полученное неравенство выполняется и при п = n0, следовательно

( ).

Суммируя последнее неравенство т—1 раз от п0 до n с учетом (2.29) и формулы суммировании обобщенной степени

.

Находим

.

Имея в виду полученное и (2.28), из (2.24) находим

что противоречит определению точки п1. Теорема доказана.

В данной работе было изучено осцилляции решения уравнения в конечных разностях

для различных значений , которое рассмотрено в работе [4].

Была доказана методом от противного, сформулированная в работе [4], теорема 19 для случая и уравнения .


Список литературы

2. Бернштейн С.Н. Исчисление конечных разностей. Харьков, 1913.

3. Быков Я.В. Осцилляция решений операторно разностных уравнений с конечными разностями первого порядка.- Фрунзе: Илим, 1985.

4. Гайнуллин М.Н. Осцилляция решений некоторых разностных уравнений высшего порядка.- Уфа: Башгоспединститут, 1999.

5. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. ГИТТА,1967.

6. Марков А.А. Исчисление конечных разностей. Одесса, 1910.

7. Преображенский В.В. Разностное исчисление. Одесса, 1891.

8. Скалкина М.А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным. // ДАНСССР. 1995.- Т.104.№5.

9. Скалкина М.А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений. // ПММ. 1985.- Т.19. №3.

10. Скалкина М.А. Об устойчивости по первому приближению систем к уравнению в конечных разностях. // Тр. Уральск. политехн. ин-та, 1958.

11. Скалкина М.А. О колебаниях решений уравнений в конечных разностях. // Изв. Вузов: Математика. 1959. №6.

12. Тихомандрицкий М. Курс теории конечных разностей. Харьков,1890.

13. Agarwal Ravi P.,Wong Patricia J. On the oscillation of nonlinear difference equations second order. // Math. Inegual. and Appl. - 1998.- 1, №3. – c.349 -365.

14. Agarwal Ravi P., Grace S.R. Oscillation of certain third-order difference quations. // Comput. and Math. Appl. 2001. 42, № 3-5, c. 379-384.

15. Boole G.A. Atreatise on the calculus of finite differences, Gambridge, 1860.

16. Cheng Sui, Lin Yi-Zhong. Complete characteristic oscillation of neutral difference equations. // J. Math. Anal. and Appl. - 1998. - 221, №1.- c. 73-91.

17. Cogan E.I., Norman R.Z. Handbook of calculus difference and differential equations, 1958.

18. Enestrom G.H. Differenskalkulens historial. – Upsala UniversitetsArsskrift, 1987, math. orh. nat., №1.

19. Fu Sheng-Chen, Tsai Long-li. Oscillation of nonlinear neutral difference equations.// Comput. and Math. Appl. – 1998. – 36, № 10-12. – c.193 - 210.

20. Grace S.P., Abadeer A.A. On the oscillation second order difference equations.// Commun. Appl. Anal.- 1998. -2, №4. – c.447 – 455.

21. Grzegorczyk G., Werbowwski J. oscillation of highheroeder linear difference equations.// Comput. and Math. Appl. 2001.42, № 3 – 5, c.711 – 717.

22. Jiang J.C., Tang X.H. Oscillation of nonlinear delay difference equations. // J. Comput. and Math. Appl. 2002.146, № 2, c.395 – 404.

23. Liu Jinolo, Lio Zhiguang, Li Xuechen. Oscillation first order with variable coefficient difference equations. //Sluixe lilin yingyong = Math. Theor. and Appl.- 1999. – 19, № 1. c.98 - 102.

24. Li Wan Tong, Cheng Sui Sun. Criterion oscillation nonlinear difference equations.// Comput. and Math. – 1998, - 36, №8, - c.87 – 94.

25. Lu Ping, Zhang Xiao. Oscillation for a sort of difference equations. //Hua bei gongxueyuan xuebao = J. N. China Inst. Technol. 2001022, №5, с.373 – 375.

26. Milne – Thomson L.M. The calculus of finite differences. London, 1933.

27. Nörlund N.E. Differenzerechung. Berlin, 1924.

28. Nörlund N.E. Vorlesung über Differenzenrechnung. Berlin: verlag von J. Springer, 19924.

29. Peng Mingshu. Oscillation criteria for second- order impulsive delay difference equations. // Appl. Math. and Comput. 2003.143, №1, c.227 – 235.

30. Parhi N. Oscillation of order difference equations.// Proc. Indian Acad. Sci. math. Sci. 200.110, №2, c.147 - 155.

31. Saker S.H. Oscillation theorems of nonlinear difference equations of cecond order. // Georg. Math. J. 2003.10, №2, c.343 - 352.

32. Saker S.H. Oscillation theorems for second – order nonlinear delay difference equations. // Period. Math. hung. 2003.47, № 1-2, c.201 – 213.

33. Shen Jianhua, Luo Zhiguo. Come oscillation criteria for difference equations. // Comput. and Math. appl. 200.30, № 6-7, с.713 – 719.

34. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillation and nonoscillation of quasilinear difference equations of second order. // Glas. mat. Hrv. mat. druš. 1998.33, № 2, c.223 – 238.

35. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillatiory behavior of quasilinear difference equations of second order. // Indian. J. Pure and Appl. Math. 2000.31, №7, c.773 – 782.

36. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillation theorems of nonlinear difference equations . // Anal. and Anwed. 1998.17, № 2, c.513 – 519.

37. Thandapani E., Arockiasamy I.M. Oscillatiry and asymptotic properties of solutions of nonlinear fourth order difference equations. // Glas. mat. Hrv. mat. druš. 2002.37. № 1, c.119 – 131.

38. Thandapani E., Arockiasamy I.M. Fonth – order nonlinear oscillations of difference equations. // Comput. and Math. Appl.2001.42, № 3-5, c.357 – 368.


Тема: «Разностные уравнения и поведение их решений»
Раздел: Математика
Тип: Дипломная работа
Страниц: 35
Цена: 1300 руб.
Нужна похожая работа?
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
  • Цены ниже рыночных
  • Удобный личный кабинет
  • Необходимый уровень антиплагиата
  • Прямое общение с исполнителем вашей работы
  • Бесплатные доработки и консультации
  • Минимальные сроки выполнения

Мы уже помогли 24535 студентам

Средний балл наших работ

  • 4.89 из 5
Узнайте стоимость
написания вашей работы
Похожие материалы
  • Дипломная работа:

    Методика изучения колеблющихся решений нелинейного разностного уравнения

    46 страниц(ы) 

    Введение….….3
    Глава 1. Понятие разностного уравнения, его решения и колеблемости решений…5
    1.1 Некоторые обозначения и определения….….….5
    1.2 Понятие разностного уравнения и его порядок ….….6
    1.3 Линейные уравнения первого порядка….14
    1.3.1 Однородное линейное уравнение….14
    1.3.2 Неоднородное линейное уравнение….15
    1.4 Понятие колеблемости решений разностного уравнения. Колеблю-щиеся свойства решений одного нелинейного разностного уравнения…17
    Глава II. Методика изучения колеблющихся свойств решений одного конечного разностного уравнения….23
    2.1 Вспомогательные предложения….24
    2.2 Некоторые вопросы колеблемости…29
    2.3 Основные результаты….30
    Заключение….38
    Литература….39
  • Дипломная работа:

    Методика изучения колеблющихся решений разностных уравнений

    38 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава 1. Понятие разностного уравнения, его решения и колеблемости его решений 5
    1.1 Некоторые обозначения и определения 5
    1.2 Уравнения в конечных разностях 6
    1.3 Линейные уравнения первого порядка 10
    1.3.1 Однородные линейные уравнения 10
    1.3.2 Неоднородные линейные уравнения 11
    1.4 Понятие колеблемости решений разностного уравнения 13
    Глава 2. Колеблющиеся свойства решений уравнения 19
    Вспомогательные предложения 19
    Некоторые вопросы колеблемости решений уравнения
    22
    Основные результаты 22
    Заключение 33
    Литература 34
  • ВКР:

    Методика применения компьютерного моделирования для решения дифференциальных уравнений и в школьном курсе информатики

    85 страниц(ы) 

    Введение 3
    1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
    1.1 Линейные дифференциальные уравнения 6
    1.2 Нелинейные дифференциальные уравнения 11
    1.3 Асимптотические оценки и их свойства 15
    1.4 Асимптотические ряды и их свойства 18
    1.5 Определение и основные свойства асимптотических разложений 22
    1.6 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений 24
    Выводы по первой главе 25
    2 Моделирование решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 26
    2.1 Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 26
    2.2 Нахождение численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 28
    Выводы по второй главе 31
    3 Методика применения компьютерное моделирование в школьном курсе информатики 32
    3.1 Основные понятия и принципы компьютерного моделирования 32
    3.2 Анализ элективных курсов по компьютерному моделированию в школе. 37
    3.3 Элективный курс по компьютерному математическому моделированию в Maple 40
    Выводы по третьей главе 55
    Заключение 57
    Список использованной литературы 59
    Приложения 62
  • Дипломная работа:

    Роль страхования в обеспечении строительства жилья в РФ и Оренбургской области

    96 страниц(ы) 

    Введение
    1 Теоретические основы страхования строительно-монтажных работ
    1.1 Необходимость и специфика страхования строительно-монтажных работ
    1.2 Классификация страхования строительно-монтажных работ
    1.3 Законодательная база страхования строительно-монтажных работ в Российской Федерации
    1.4 Зарубежная практика страхования строительно-монтажных
    2 Анализ строительства жилья и его страхования в Российской Федерации
    2.1 Анализ страхования строительно-монтажных рисков в Российской Федерации
    2.2 Анализ строительства жилья и структуры жилищного фонда в РФ, в том числе в Оренбургской области
    2.3 Основные направления государственной жилищной политики в РФ
    2.4 Региональная специфика в проведении жилищной политики (на примере Оренбургской области)
    2.5 Страхование как элемент механизма обеспечения строительства жилья
    3 Проблемы и предложения по развитию страхования строительно-монтажных рисков, в том числе жилищного строительства, и его качества
    3.1 Проблемы и пути их решения на рынке страхования СМР и рынке страхования ответственности в рамках СРО
    3.2 Проблемы и предложения по развитию страхования жилищного строительства, и его качества
    Заключение
    Список использованных источников
    Приложение А Рэнкинг страховщиков по взносам по страхованию СМР (имущество и ответственность) за 2010
    Приложение Б Рэнкинг страховщиков по взносам по страхованию СМР (имущество и ответственность) за первое полугодие 2011 года
    Приложение В Рэнкинг страховщиков по взносам по страхованию ответственности в рамках СРО за 2010 год
    Приложение Г Рэнкинг страховщиков по взносам по страхованию ответственности в рамках СРО за первое полугодие 2011 года
    Приложение Д Динамика ввода в действие жилых домов в РФ
    Приложение Е Динамика ввода в действие индивидуальных жилых домов в 2001-2010 гг.
    Приложение Ж Динамика по вводу в действие жилых домов в городах и поселках городского типа и в сельской местности Оренбургской области в 2000-2010
    Приложение И Международное сравнение среднего ввода в действие жилых домов на 100 человек населения в 2009 году
    Приложение К Сравнение динамики ввода в действие общей площади жилых домов и выбытия по ветхости и аварийности
    Приложение Л Коэффициент доступности жилья в РФ
    Приложение М Индикаторы, характеризующие развитие ипотечного жилищного кредитования населения и рыка жилья
  • Дипломная работа:

    Методика изучения отдельных вопросов алгебры и начал анализа

    255 страниц(ы) 

    Предисловие…7
    Глава I. Методика изучения числовых систем….8
    §1. Методика изучения делимости целых чисел…8
    1.1. Делимость целых чисел. Делимость суммы, разности
    и произведения….8
    1.2. Деление с остатком….12
    1.3. Делители….15
    1.4. Простые числа….16
    1.5. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа….17
    1.6. Основная теорема арифметики….18
    1.7. Прямые на решетке. Линейные уравнения…20
    1.8. Алгоритм Евклида…26
    1.9. Выберем наименьшее….31
    1. 10. Уравнения и неравенства в целых числах….32
    §2. Методика изучения темы «Числовые последовательности»…36
    2.1. Определение последовательности. Способы задания последовательности ….37
    2.2. Монотонные последовательности. Интерпретации….39
    2.3. Ограниченность последовательности….43
    2.4 Предел числовой последовательности…46
    §3. Методические рекомендации к ведению профильного курса «Комплексные числа в общеобразовательной школе»….48
    3.1 Определение комплексных чисел. Их геометрический смысл. Действия с комплексными числами…57
    3.2 Сопряженные числа. Модуль и аргумент комплексного числа.58
    3.3 Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия в тригонометрической форме….60
    3.4 Комплексные числа и преобразования плоскости….60
    3.5 Извлечение корней из комплексных чисел….62
    3.6 Решение уравнений…62
    3.7 Задачи с параметрами….63
    §4. Сущность и принцип метода математической индукции…64
    4.1 Трудности, возникающие при изучений метода….66
    4.2 Специфика использования данного метода в обучении….67
    4.3 Индуктивный метод при поиске решения задачи….75
    Глава II. Методика изучения функций…77
    §1. Методика изучения непрерывности и предела функции….77
    1.1. Подготовка учащихся к изучению понятий предела и непрерывности функции, теорем о пределах….77
    1.2. Наглядно-геометрический вариант введения и изучения предела функции действительного переменного на бесконечности….90
    1.3. Наглядно-геометрический вариант изучения предела функции действительного переменного в точке…93
    § 2. Методика изучения сложной
    2.1. Определение сложной функции….96
    2.2. Свойства сложной функции….99
    §3. Методика изучения обратной функции…112
    3.1. Методика введения понятия обратной функции….112
    3.2. Методика изучения обратной функции по учебнику «Алгебра и начала анализа» под редакцией М.И.Башмакова….124
    §4. Методика изучения тригонометрических функций….134
    4.1. О введении основных понятии тригонометрии в школе…136
    4.2. Градусная и радианная меры угла. Числовая окружность….137
    4.3. Тождественные преобразования тригонометрических
    выражений….145
    4.4. Методика изучения тригонометрических функций….155
    4.5. Решение тригонометрических уравнений в школе. Подготовительный этап….168
    4.6. Методы решения тригонометрических уравнений…177
    4.7. Анализ решений тригонометрических уравнений….…191
    4.8. Отбор корней в тригонометрических уравнениях….….193
    4.9.О потере корней при решении тригонометрических уравнений 203
    4.10. Классификация уравнений….206
    4.11. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики….209
    4.12. О блочном изучении темы \"Решение тригонометрических уравнений и неравенств\"…244
    §5. Методика крупноблочного изучения показательной и логарифмической функции….256
    5.1. Обобщение понятия степени. Корень - й степени и его свойства.….256
    5. 2. Степень с рациональным показателем….260
    5.3. Суть метода УДЕ (укрупнения дидактических единиц)….263
    Глава III. Методика обучения решению уравнений и неравенств….294
    §1. Трансцендентные уравнения и неравенства….294
    1.1. Опорные знания….294
    1.2. Показательные уравнения….296
    1.3. Логарифмические уравнения….297
    1.4. Тригонометрические уравнения…300
    1.5. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции….….303
    1.6. Сущность решения уравнений и неравенств…312
    §2. Иррациональные уравнения и неравенства….317
    2.1. Решение иррациональных уравнений….317
    2.2. Решение иррациональных неравенств….322
    2.3. Обобщенный метод интервалов…325
    §3. Уравнения и неравенства, включающие функции {x} и [x].…327
    §4. Рациональное решение уравнений и неравенств с модулем….339
    §5. Уравнения и неравенства с параметрами. Функционально-графический метод….342
    5.1 Опорные знания …342
    5.2. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами…348
    5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами….357
    5.4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
    с параметрами….361
    5.5. Методика введения функционально – графического метода при решении задач с параметрами ….368
    5.6. Применение функционально-графического метода к решению задач с параметрами…373
    5.7. Уравнения высших степеней ….377
    §6. Методика изучения функциональных уравнений…386
    6.1. Понятие функционального уравнения….… .386
    6.2. Функциональная характеристика элементарных функций.405
    6.3. Методы решения функциональных уравнений….416
    §7. Системы алгебраических уравнений….432
    §8. Классические неравенства в задачах….444
    8.1. Неравенство Бернулли….444
    8.2. Неравенство Коши….445
    8.3. Неравенство Гюйгенса….449
    8.4. Неравенство Коши-Буняковского….453
    8.5. Неравенство Иенсена….455
    §9. Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств с переменными, других задач…457
    Глава IV. Методика изучения производной и ее применений…465
    §1. К вопросу о дифференцируемости функций…465
    §2. Методические рекомендации к изучению производной и ее
    применений….470
    2.1. Введение. Обзор теоретического материала….470
    2.2. Понятие о касательной к графику функции….471
    2.3. Мгновенная скорость движения…472
    2.4. Производная. Производные элементарных функций…473
    2.5. Применение производной к исследованию функций…483
    2.6. Другие приложения производной…490
    Глава V. Первообразная и интеграл….500
    §1. Методика формирования понятия первообразной….500
    §2. Область определения первообразной…503
    §3. Методика изучения интеграла….505
    3.1. Методика изучения неопределенного интеграла….505
    3.2. Методика изучения определенного интеграла….506
    3.3 Свойства определенного интеграла….512
    Глава VI. Задачи повышенной трудности….518
    Литература.….551
  • Дипломная работа:

    Методика изучения тригонометрических функций. тригонометрические уравнения и неравенства

    95 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава I. Определения и основные свойства тригонометрических функций
    1.1. Радианная мера дуги. Тригонометрическая окружность 6
    1.2. Связь между числовой прямой и числовой окружностью 9
    (Лекция-беседа для учащихся 9 – 10 классов)
    1.3. Определение основных тригонометрических функций 12
    Глава II. Обратные тригонометрические функции 27
    2.1. Определение, свойства и графики обратных тригонометрических
    функций 28
    2.2. Уравнения и неравенства, содержащие обратные
    тригонометрические функции 37
    Глава Ш. Тригонометрические уравнения и системы 44
    3.1. Общие замечания
    3.2. Основные способы решения тригонометрических уравнений 46
    3.3. Системы тригонометрических уравнений 56
    Глава IV. Тригонометрические неравенства. 60
    4.1. Доказательство неравенств, связанных с тригонометрическими
    функциями
    4.2. Решение тригонометрических неравенств 66
    4.3. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов на
    тригонометрической окружности 70
    Глава V. Факультативные занятия 79
    5.1. Факультативное занятие на тему: Эти разные синусы.
    (Гиперболический синус) 81
    5.2. Факультативное занятие на тему: Решение «нестандартных»
    задач 85
    Заключение 92

Не нашли, что искали?

Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ

Наши услуги
Дипломная на заказ

Дипломная работа

от 8000 руб.

срок: от 6 дней

Курсовая на заказ

Курсовая работа

от 1500 руб.

срок: от 3 дней

Отчет по практике на заказ

Отчет по практике

от 1500 руб.

срок: от 2 дней

Контрольная работа на заказ

Контрольная работа

от 100 руб.

срок: от 1 дня

Реферат на заказ

Реферат

от 700 руб.

срок: от 1 дня

Другие работы автора
  • Дипломная работа:

    Фразеология в произведениях М Карима

    73 страниц(ы) 


    Фразеология в произведениях М Карима
    ИНЕШ….
    I Б!ЛЕК. БАШ?ОРТ ТЕЛЕНЕ* ФРАЗЕОЛОГИЗМДАРЫ
    1.1. Х26ерге баш7орт телене8 фразеология3ы тура3ында д0й0м т0ш0нс2….….
    1.2. Фразеологик бер2мект2р6е8 т2би42те ….
    1.3. Фразеологик бер2мект2р6е8 т0р62ре…
    II Б!ЛЕК. МОСТАЙ К"РИМ "("Р:"РЕНД" ФРАЗЕОЛОГИЗМДАР:Ы* ?УЛЛАНЫЛЫШЫ
    2.1. Фразеологизмдар6ы лексик-семантик я7тан классификациялау….
    2.2. Фразеологизмдар6ы экспрессив-эмоциональ билд2л2ре буйынса т0рк0мл21….….….
    2.3. М. К2рим 292р62ренд2ге фразеологизмдар6ы8 стилистик т0р62ре ….
    III Б!ЛЕК. БАШ?ОРТ ТЕЛЕ Д"РЕСТ"РЕНД" ФРАЗЕОЛОГИК БЕР"МЕКТ"Р:Е )ЙР"НЕ!
    3.1. «Лексика» б1леген 0йр2те1 барышында фразеологик бер2мект2р6е 16л2штере1.…
    3.2. «Ябай 30йл2м синтаксисы» б1леген 0йр2те1 барышында фразеологик бер2мект2р6е а8латыу ….….
    ЙОМ;А?ЛАУ….….
    ":"БИ"Т….….
    ?УШЫМТА
  • Дипломная работа:

    Сюжетно – ролевая игра как средство развития социальных навыков у детей старшего дошкольного возраста

    73 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ
    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ СОЦИАЛЬНЫХ НАВЫКОВ У ДЕТЕЙ СТАРШЕГО ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА 3
    1.1 Формирование социальных навыков детей старшего дошкольного возраста 3
    1.2 Сюжетно-ролевая игра в жизни ребенка-дошкольника
    1.3 Развитие социальных навыков у детей старшего дошкольного возраста в процессе сюжетно – ролевых игр
    Выводы по первой главе
    ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ СЮЖЕТНО-РОЛЕВЫХ ИГР ПО РАХВИТИЮ СОЦИАЛЬНЫХ НАВЫКОВ ДЕТЕЙ СТАРШЕГО ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА
    2.1 Констатирующий эксперимент
    2.2 Формирующий эксперимент
    2.3 Контрольный эксперимент
    Вывод по второй главе
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
  • Курсовая работа:

    Туристические достопримечательности Великобритании

    56 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    Глава 1. Страноведческая характеристика Великобритании 5
    1.1. Физико-географические и экономико-географические особенности государства. Экологическая обстановка 5
    1.2. Политическое устройство. Геополитическая обстановка. Население страны 7
    1.3. История и культура страны 10
    Глава 2. Туристские ресурсы страны 14
    2.1. Природные достопримечательности. Особо охраняемые природные территории на базе природных ресурсов. 14
    2.2. Историко-культурные достопримечательности. 19
    2.3. Туристические центры и туристские зоны 23
    Глава 3. Анализ туристического рынка 38
    3.1. Туроператоры и турагенты г. Уфа, работающие по данному направлению. Анализ существующих туров 38
    3.2. Целевая аудитория. SWOT анализ 39
    3.3. Экономическое обоснование маршрута, обеспечение его безопасности. Анализ транспортной составляющей. PEST анализ 41
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 43
    ЛИТЕРАТУРА 45
    ПРИЛОЖЕНИЯ 46
  • Курсовая работа:

    Обучение чтению учащихся среднего звена на основе специальных упражнений при работе с текстом

    58 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава 1. РОЛЬ ЧТЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ 5
    1.1. Чтение как вид речевой деятельности 5
    1.2. Цели и содержание обучения чтению 8
    1.3. Техника обучения чтению на английском языке 12
    1.4. Различные виды чтения применяемые на уроках иностранного языка 17
    Выводы по первой главе 21
    Глава 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ЧТЕНИЮ ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА 22
    Выводы по второй главе 24
    Заключение 25
    Список литературы 26
    ПРИЛОЖЕНИЕ 28
  • ВКР:

    Реализация проектного метода во внеурочной деятельности (на примере предмета информатика)

    68 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЕКТНОГО МЕТОДА ВО ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 7
    1.1. Проектная деятельность: суть и сущность 7
    1.2. Методика организации проектной деятельности школьников в процессе обучения 21
    ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 34
    ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЕКТНОГО МЕТОДА ВО ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 35
    2.1. Особенности реализации проектного метода во внеурочной деятельности в начальной школе 35
    2.2. Логика и структура построения курса по внеурочной деятельности . 40
    ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ 45
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 46
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 48
    ПРИЛОЖЕНИЕ 1 50
    ПРИЛОЖЕНИЕ 2 РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЕКТНОГО МЕТОДА ВО ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (НА ПРИМЕРЕ ПРЕДМЕТА ИНФОРМАТИКА) 61
  • Курсовая работа:

    Автоматизация управления издательско-полиграфическим комплексом

    41 страниц(ы) 

    Введение…3
    РАЗДЕЛ I. Анализ и выбор методов построения сети.
    1.1 Выбор топологии сети…7
    1.2 Выбор модели сети…11
    1.3 Выбор стандарта…12
    1.4 Выбор кабельной системы…15
    1.5 Выбор сетевого оборудования….….18
    1.6 1.6. Выбор протокола….….….….21
    РАЗДЕЛ II. Анализ и выбор технических средств Реализации вычислительной сети.
    2.1. Выбор аппаратного обеспечения сервера и рабочих станций….….24
    2.2. Выбор сетевого программного обеспечения….….31
    2.3. Планирование информационной безопасности….…36
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ….….….39
    Список литературы….….…40
    ПРИЛОЖЕНИЕ А. Схема ЛВС….….…41
    ПРИЛОЖЕНИЕ В. Технические средства сети….….….42
  • Дипломная работа:

    Лексические особенности российского политического дискурса

    120 страниц(ы) 

    Введение 3
    Глава I. Особенности вербальной политической коммуникации 7
    1.1. Особенности политического дискурса 7
    1.2. Лексика русского языка и ее особенности 27
    1.3. Фразеологизмы в политическом дискурсе 38
    1.4. Эффективность политического дискурса 41
    Глава II. Анализ лексики российского политического дискурса 45
    2.1. Лексические группы слов в политическом дискурсе 45
    2.2. Стилистические фигуры в политическом дискурсе 73
    Заключение 84
    Список литературы 86
    Приложение 98
    Методическое приложение 1
  • Дипломная работа:

    Изучение полиморфизма генов регуляции клеточного цикла p21 и сdk2 в норме и при онкопатологии

    82 страниц(ы) 

    СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ….5
    ВВЕДЕНИЕ….….6
    ГЛАВА 1. ГЕНЕТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ РЕГУЛЯЦИИ КЛЕТОЧНОГО ЦИКЛА (обзор научной литературы)….….….8
    1.1. Структура и локализация генов р21, CDK2 и АТМ….…12
    1.1.1. Структура и локализация гена р21….….12
    1.1.2. Структура и локализация гена СDK2….….13
    1.1.3. Структура и локализация гена АТМ….….13
    1.2. Полиморфизм генов р21, CDK2 и АТМ….….13
    1.3. Структура и функции белков р21, СDK2 и ATM….….15
    1.3.1. Структура и функции белка p21….15
    1.3.2. Структура и функции белка СDK2…19
    1.3.3. Структура и функции белка АТМ….….20
    ГЛАВА 2. МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ….24
    2.1. Материалы исследования….….….24
    2.2. Методы исследования….….…24
    2.2.1. Генетические методы. Семейный анализ….…24
    2.2.2. Молекулярные методы…26
    2.2.2.1. Выделение ДНК методом фенольно-хлороформной экстракции…26
    2.2.2.2. Полимеразная цепная реакция (ПЦР).….…27
    2.2.2.3. Электрофорез в полиакриламидном геле….….…28
    2.2.2.4. ПДРФ-анализ…29
    2.2.3.Статистическая обработка полученных результатов…30
    2.2.4. Методы моделирования белков с использованием компьютерных технологий….32
    ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ….….….33
    3.1. Анализ соответствия распределений частот генотипов и аллелей в исследованных выборках закону Харди-Вайнберга….33
    3.2. Сравнительный анализ генетической структуры исследуемых групп….38
    3.2.1. Анализ распределения частот генотипов и аллелей полиморфного варианта гена р21 (rs1801270,C/A) у здоровых индивидов и в группе с онкопатологией….38
    3.2.2. Анализ распределения частот генотипов и аллелей полиморфного варианта гена CDK2 (rs3087335,А/С) у здоровых индивидов и в группе с онкопатологией….39
    3.2.3. Анализ распределения частот генотипов и аллелей полиморфного варианта гена АТМ (rs1801516, G/A) у здоровых индивидов и в группе с онкопатологией….40
    3.3. Анализ сочетаний генотипов полиморфных локусов генов р21 (rs1801270), СDK2 (rs3087335), ATM (rs1801516) и исследование роли межгенных взаимодействий у здоровых индивидов и больных с онкопатологией….41
    3.3.1. Анализ распределения частот сочетаний генотипов изученных генов у здоровых индивидов и больных c онкопатологией…41
    3.3.2. Исследование роли межгенных взаимодействий в формировании предрасположенности к онкозаболеваниям…46
    3.4. Генеалогический анализ…49
    3.5. Моделирование структуры изученных белков с использованием компьютерных технологий….51
    ГЛАВА 4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МАТЕРИАЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ БИОЛОГИИ….….53
    4.1. Роль биологии в системе школьного образования….53
    4.2. Использование содержания дипломной работы в программе по биологии для изучения в школе…54
    4.3. Конспект урока по биологии в 10 классе на тему: «Жизненный цикл клетки. Митоз. Амитоз» ….59
    4.4. Использование логико-смыслового моделирования в образовательном процессе….66
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ….….70
    ВЫВОДЫ….….71
    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ….….72
    ПРИЛОЖЕНИЕ….79
  • Дипломная работа:

    Организационное и педагогическое сопровождение процесса формирования этических ценностей у учащихся на уроках музыки

    105 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЭТИЧЕСКИХ ЦЕННОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МУЗЫКИ 10
    1.1. Сущность и особенность понятия этические ценности 10
    1.2. Музыкальная культура по формированию этических ценностей 30
    1.3. Организационно-педагогические условия формирования этических ценностей у учащихся на уроках музыки 38
    Выводы по первой главе 51
    ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ПЕДАГОГИЧЕСКОМУ СОПРОВОЖДЕНИЮ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ЭТИЧЕСКИХ ЦЕННОСТЕЙ У УЧАЩИХСЯ НА УРОКАХ МУЗЫКИ 53
    2.1. Организация педагогического исследования эффективности формирования этических ценностей у учащихся на уроках музыки 53
    2.2. Модель формирования этических ценностей у учащихся на уроках музыки 66
    2.3. Анализ результатов опытно-экспериментальной работы по формированию этических ценностей у учащихся на уроках музыки 86
    Выводы по второй главе 89
    ЗАКЛЮЧЕНИЕ 91
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 93
  • Дипломная работа:

    Совершенствование техники ведения мяча и удара по воротам у мальчиков 11-12 лет в секции по мини-футболу

    44 страниц(ы) 

    ВВЕДЕНИЕ 3
    ГЛАВА I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ИЗУЧАЕМОЙ ПРОБЛЕМЫ. 6
    1.1. Характеристика обучения навыкам футбола 6
    1.2. Способы и техника выполнения ведение мяча в футболе 12
    1.3. Анатомо-физиологические особенности детей 11-12 лет 15
    ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ 27
    ГЛАВА П.МЕТОДЫ И ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ 28
    2.1. Методы исследования 28
    2.2. Организация исследования 29
    ГЛАВА III. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. 31
    3.1. Комплекс упражнений, направленный на совершенствование техники ведения мяча и удара по воротам у мальчиков 11-12 лет в секции по мини-футболу 31
    3.2. Результаты исследования 32
    3.3. Обсуждение результатов исследования 36
    ВЫВОДЫ 39
    СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 41