У нас можно недорого заказать курсовую, контрольную, реферат или диплом

«Разностные уравнения и поведение их решений» - Дипломная работа
- 35 страниц(ы)
Содержание
Введение
Выдержка из текста работы
Заключение
Список литературы

Автор: navip
Содержание
Введение. 3
Глава I. Понятия разностных уравнений.
§1.1 Общие понятия разностных уравнений. 7
§1.2 Некоторые свойства однородных разностных уравнений и
их решения. 9
§1.3 Общие понятия неоднородных линейных разностных уравнений. 13
Глава II. Осцилляционные свойства решений уравнения .
§2.1 Вспомогательные предложения. 17
§2.2Некоторые вопросы осцилляции решений уравнения . 19
Заключение. 33
Литература. 34
Введение
Актуальность темы. В связи с бурным развитием импульсной техники и применением компьютеров решения дифференциальных уравнений за последние годы значительно возрос интерес к теории уравнений в конечных разностях. За эти годы было опубликовано свыше 900 работ, посвященных различным вопросам теории конечно разностных уравнений. Эти уравнения применялись для решения прикладных задач механики, экономики, экологии, биологии, электроники (в том числе микроэлектроники), психологии, социологии. Вся математическая теория импульсных систем основана на теории конечно разностных уравнений.
Объектом данного исследования являются уравнения в конечных разностях
для различных значений α >0 (0<α<1, α=1, α>1) и колеблемость (осцилляции) решений этого уравнения.
Предметом изучения данного исследования и стали условия осцилляции, неосцилляции и асимптотические поведения решения вышенаписанного уравнения.
Целью работы являются исследования осцилляции и неосцилляции решения данного уравнения с помощью различных теорем и их доказательств. Для достижения намеченной цели необходимо последовательное доказательство вспомогательных теорем (лемм) методом от противного.
Степень изученности проблемы. Изучение разностных уравнений начато в ХVIII веке (например, см. Кушнир Е.А. Развитие теории разностных уравнений в ХVIII и в первой половине XIX века – канд. дисс.- Черновцы, 1960) и этой тема посвящена литература, изданная в XIX и в первой половине XX ( [1], [2], [5], [6], [7], [12], которых нет в библиотеках г.Уфы , но они указаны в списке литературы [3]), и начиная со второй половины XX века этому посвящены книги многих авторов( как советских и российских, так и зарубежных).
Начиная со второй половины XX века, проблеме исследования осцилляции решений дифференциальных, дифференциально – разностных, дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и разностных уравнений посвящена довольно обширная работа, напечатанных как в качестве отдельных статей, так и книг и монографий. Исследования осцилляции решений уравнений в конечных разностях были начаты Скалкиной М.А.([8]-[11]).
В работе [4] достаточно полно рассмотрены и анализированы работы по осцилляции решений разностных уравнений до 1998 года. В них исследуются достаточные, необходимые и достаточные, необходимые условия осцилляции и неосцилляции решений конечно разностных уравнений I, II, III, IV и n-го порядков (в том числе и уравнений с запаздыванием).
Источниковая база исследования. Для наших исследований взяты уравнения, леммы и теоремы работы [4] и они рассмотрены для уравнения нечетного порядка, доказана сформулированная в [4] теорема 19 для случая , а для остальных - проверены доказательства для уравнения нечетного порядка.
Методологической основой исследования является доказательство лемм и теорем методом от противного.
Научная новизна исследования заключается в следующем:
• в изучении научных работ последних лет по теме работы;
• доказательство теоремы, сформулированной в работе [4].
Новизной исследования поставленной задачи является само ознакомление с разностными уравнениями, их видами и решениями, дифференциальных уравнений с запаздывающим (отклоняющимся) аргументом, осцилляция и неосцилляция, асимптотика решений выше перечисленных уравнений, которые не рассматриваются в программе математического анализа и дифференциальных уравнений педагогических вузов.
Научно-практическая значимость исследования. Исследование носит теоретический характер, а его результаты могут быть использованы в исследованиях студентов вузов, аспирантов, интересующихся этой проблематикой, (т.е. теми, кто занимается качественным исследованием решений дифференциальных, разностных, дифференциально-разностных, функциональных, функционально-разностных уравнений).
Структура работы. В соответствии с поставленными целью и задачами исследования работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе дается понятие разностного уравнения и их решения, некоторые свойства однородных и неоднородных разностных уравнений. Вторая глава посвящена исследованию осцилляционных свойств решений уравнения
и формулируются вспомогательные предложения. Доказана, сформулированная в работе [4] теорема 19 для случая и уравнения .
Выдержка из текста работы
ГЛАВА I. ПОНЯТИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Некоторые обозначения и определения
N = {1,2,.,n,.} - множество натуральных чисел.
No ={no, no+1, no + 2,.}, где п0 N. Ø - пустое множество.
Z0={0} N, Z = {0, ±l, ±2,.}, R = (- ,+ ) - соответственно множества неотрицательных целых, целых, действительных (вещественных) чисел.
i = 1,2,.,n.
R_ = (- ,0), R+ = (0,+ ), _ = (-, 0], + = [0,+ ) - соответственно множества отрицательных, положительных, неположительных, неотрицательных действительных чисел.
Под х(к) понимается обобщенная степень
х(к) =х(х-1).(х- k + 1),где k Z.
Под у(п) понимается конечная разность
, где .
Под «разностным уравнением» будем понимать «уравнение в конечных разностях» (или то же самое «конечно разностное уравнение»). Под решением разностного уравнения будем понимать решение, продолжаемое вправо.
Решение рассматриваемого уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) назовем осциллирующим (или колеблющимся), если оно меняет знак на . В противном случае решение назовем не осциллирующим (или не колеблющимся).
§1.1. Общие понятия разностных уравнений
Разностным уравнением (обыкновенным – с одной независимой переменной x) называется функциональное уравнение, в которое неизвестная функция у = у(х) входит при различных значениях аргумента, а именно это есть уравнение вида
Ф(x, y(x + h0), y(x + hl),., y(x + hm)) = 0 (0.1)
Величины h0,h1.,hm называются отклонениями (аргумента), они могут быть постоянными и переменными. Когда все hk (к = 0,1,2) постоянны, их называют обычно разностями.
Функция у = у(х) является решением уравнения (0.1) на множестве Е, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество Е. Отметим одну особенность разностных уравнений: подставляя функцию у(х) в уравнение (0.1), должны требовать, чтобы для имели смысл все выражения у(х + ho), y(x + h1 ),…,у(х + hm), т.е. чтобы функция y(z) была определена в точках z = x + ho , x + h1,.,x + hm. Но если Е, то x + hk E + hk={z/z = x + hk , E}, - это есть множество Е, сдвинутое на вектор hk . Таким образом, множество М = (E + ho) (E + h1) . (E + hm), на котором функция у = у(х) определена, и множество Е, на котором она является решением уравнения (0.1), вообще говоря, не совпадают. Может оказаться даже Е М = 0. Но если h0 = 0, то всегда Е М.
Будем говорить, что решение у = у(х) определено (непрерывно, аналитично и т.п.) на множестве М, если функция у(х) определена (непрерывна, аналитична и т.п.) на множестве М и является решением уравнения (0.1) на множестве Е.
Если hk- целые числа, то (0.1) называется уравнением с целыми разностями. Оно называется уравнением второго порядка, когда hk=k (к=0,1,2) и в него явно входят у(х) и у(х + 2).
Укажем на связь разностных уравнений с уравнениями в конечных разностях. Пусть функция y(x) определена для всех значений x вида x = xo+kh, где хо и h > 0 - фиксированные числа, а к = 0,1,2,. или k Z. Конечной разностью первого порядка (с шагом h) функции у(х) в точке h называется величина у(х) = у(х + h)- у(х); оператор Δ, очевидно, линейный. Индуктивно вводятся разности второго, третьего, и т.д. порядков:
. Используя метод математической индукции, нетрудно установить формулы
, (0.2)
. (0.3)
Часто интересуются задачей: восстановить функцию у(х) по некоторому соотношению между ее разностями. В отличие от уравнения вида (0.1) и уравнения вида
Ф(х, у(х), у(х + 1),., у(х + т)) = 0,
уравнение
F(x, y(x), y(x),., my(x)) = 0 (0.4)
назовем уравнением в конечных разностях. Если в него явно входят m - я разность, число т назовем разностным порядком уравнения.
Для простоты будем считать xо = 0, h = 1 - к этому всегда можем перейти в результате замены t = (x-xo )/ h; имеем t = k. Если в уравнение (0,1) явно содержащее у(х + т), вместо у(х + п) (п = 0,1,2,.,т) подставить их выражение через разности по формуле (0.3), то придем к уравнению в конечных разностях порядком т. Наоборот, уравнение (0.4), пользуясь формулой (0.2), можно преобразовать к разностному уравнению (0.1), однако порядок последнего может оказаться меньше разностного порядка т. Например, уравнение 2у(х) + 3 (x) - y(x) = х разностного порядка т = 3 преобразуется в разностное уравнение Зу(х+2) - у(х+3)= х порядка 1.
§ 1.2. Некоторые свойства однородных разностных уравнений и их решения.
Рассмотрим линейное разностное уравнение первого порядка
, (1.1)
где Q(x) — заданная функция от х, ai—данные функции х, а f(x) — искомая функция, называется линейным уравнением порядка k; однородным, если Q(X) = 0, И неоднородным, если Q(х) 0. Воспользовавшись выражением р-й разности f(x) через f(x), f(x+1), f(x+2), ., т. е.
,
мы сможем уравнение (1.1) преобразовать к следующему:
f (х + к) + bxf (x + k — 1)+ .+bkf(x) = Q(x), (1.2)
где bi — некоторые функции х. Обратно, замечая, что при целом р справедливо равенство
,
мы всякое уравнение вида (1.2) сможем привести к виду (1.1). Итак, вместо того чтобы рассматривать решение уравнения (1.1), мы можем рассматривать уравнение (1.2); этот последний вид пред-почтительнее для исследований, поэтому мы и будем им пользо-ваться.
Мы построим общую теорию линейных разностных уравнений. В этой общей теории мы будем полагать коэффициенты линейного уравнения в форме (1.2) функциями от х.
Займемся сначала исследованием однородного уравнения. Итак, рас-смотрим разностное уравнение
f(x+k) + P1 (x)f(x+k— 1)+…+ Pk (x) f (x) = 0, (1.3)
где Р(х) — заданные функции от х. Будем опять считать х при-нимающим значения 0, 1, 2, . Функции Р1(х), Р2(х), ., Pk(x) будем считать имеющими конечные и определенные значения на этом множестве и Pk (x) не тождественно равной нулю на нем.
Каждое решение уравнения (1.3) определяется заданием начальных значений f(0)=f0, ., f(k—1)=fk-1.
Прежде всего мы можем доказать теорему.
Теорема 1. Если f1(х), f2(х), ., fp (х) — решения уравнения
f(x+k)+P1f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0, (1.3)
то и функция φ(x)
φ(x) = C1 f1 (х) + С2f2 (х)+. + Cnfp (х), (1.4)
где С1; С2, ., Сn —постоянные, будет также решением этого уравнения.
Доказательство. Положим Ро (х) = 1, тогда
.
Меняя во второй части порядок суммирования, получим ,
так как все fi(x) — частные решения нашего уравнения.
Значит, φ(x) — тоже решение уравнения, и теорема доказана.
Теперь мы можем доказать и теорему об общем решении линейного уравнения без правой части.
Теорема 2. Если f1(x), f2(x), . fk (х)— решения урав-нения (13):
f(x+k)+P1f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0,
0причем определитель
(1.5)
отличен от нуля, то общее решение нашего линейного однородного уравнения имеет вид
f(x)=C1f1(x)+ C2f2(x)+ …+Ckfk(x)
где С1 ,С2,.,Ck — произвольные постоянные.
Доказательство. Рассмотрим k решений уравнения (1.3) f1(x), f2{x),., fk(x), определяемых начальными значениями:
f1(0)=f11, f1(1)=f12, … f1(k-1)=f1k,
f2(0)=f21, f2(1)=f22, … f2(k-1)=f2k,
…
fk(0)=fk1, fk(1)=fk2 ,… fk(k-1)=fkk
и притом выбранными так (что, естественно, всегда можно сде-лать), чтобы определитель (1.5)
был отличен от нуля.
Заданием начальных значений функции f1(x), f2(х),.fk (x) полностью определяются на всей нашей последовательности х =0,1,., и значит, по первой теореме функция . φ(x). = C1f1(x)+…+Ckfk(x),
где все C1 ,С2 ,…,Ck — постоянные, также будет решением уравнения (13).
Легко показать, что все решения уравнении (1.3) содержатся в совокупности функций φ(x). Действительно, пусть мы имеем произвольное решение f(x). Оно вполне определяется заданием начальных значений f1,., fk. Выберем теперь из совокупности функций φ(x) такую, которая имела бы те же начальные значения. Иначе говоря, нам нужно найти такие постоянные С1, Сг, С3,.,Ск, чтобы были выполнены k равенств:
f1=φ(0)=C1f11+C2f12+…+Ckf1k
f2=φ(1)=C1f21+C2f22+…+Ckf2k
…
Fk=φ(k-1)=C1fk1+C2fk2+…+Ckfk
Но это можно сделать, н притом единственным образом, так как определитель системы отличен от нуля.
Решив эту систему линейных уравнений относительно С1, Сг, С3,.,Ск , мы найдем их значения и получим, таким образом, функцию φ(x), имеющую те же начальные значения, что и f(x). Но так как начальные значения определяют единственным образом функцию, удовлетворяющую уравнению (1.3), то φ(x) =f(x) (на множестве х = 0, 1, 2,.).
Тем самым теорема доказана.
Пример. Пусть требуется решить уравнение
f(x+4)+2f(x+3)+3f(x+2)+2f(x+1)+f(x)=0
при начальных условиях
f(0=)f(1)=f(3)=0, f(2)=-1.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
λ4+2λ3+3λ2+2λ+1=0,
или (λ2+λ+1)2=0, или
=0;
его корни:
, ;
поэтому общее решение будет
=
,
где (i=1, 2, 3, 4) – новые произвольные постоянные.
Воспользовавшись начальными условиями, составляем уравнения для определения этих постоянных:
откуда
Итак,
§ 1.3. Общие понятия неоднородных линейных разностных уравнений
Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения
F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=Q(x).
Относительно неоднородного линейного уравнения имеет место теорема, аналогичная соответствующей теореме в теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений.
Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного уравнения F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=Q(x) (1.6)
представляется в виде суммы частного его решения и общего решения линейного однородного уравнения
F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0, (1.7)
т. е. f(x)=f*(x)+C1f1(x)+…+Ckfk(x), (1.8)
где fi (x)— частные решения однородного уравнения и притом такие, что для них
D[f1(0),…fk(0)] 0.
Доказательство. Пусть f*(x)— любое решение нашего неоднородного уравнения. Заменим тогда f(x) через . f*(x)+ φ(x). Мы получим, полагая P0(x)=1, что
.
Так как f*(х) — решение нашего неоднородного уравнения, то
и, значит,
+P1(x) +…+Pk(x) )=0.
Но общее решение этого уравнения представляется, как это следует из теоремы 2, в виде
,
где fs(x), s=1, 2,., k,—частные решения однородного уравнения и притом такие, что
D[f1(0),…fk(0)] 0,
откуда и следует, что
f(x)=f*(x)+C1f1(x)+…+Ckfk(x).
Пример. Рассмотрим последовательность чисел, начинающихся с нуля и единицы, в которой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …(числа Фибонначи). Найти выражение общего члена последовательности.
Решение. Согласно условию задача сводится к решению конечно-разностного уравнения
f(x+2)=f(x+1)+f(x)
с постоянными коэффициентами при начальных условиях f(0)=0, f(1)=1; f(x) обозначает число Фибонначи номера х. Составляя характеристическое уравнение λ2 -λ-1=0, находим его корни
, ,
так что
Постоянные C1 и C2 определятся из начальных условий, т.е. из уравнения C1 + C2=0, ( C1 + C2)+ (C1 - C2)=2, решая которые найдем
, ,
и следовательно,
Заключение
Вспомогательные предложения
Лемма 1. Пусть функция у(п) при п> п0 не меняет знак вместе с y(n) и у(п) 2m-1у(п) 0. Тогда найдутся числа l {о,1,2,.,2m-2} и n n0 такие, что при n n1 выполняются неравенства
,( ), , , (2.1)
причем m-l нечетно и
( ). (2.2)
Доказательство. Пусть для определенности у(п) 0. Тогда ту(п) 0, а следовательно, существует конечный или бесконечный предел .
Ясно, что не может быть
Пусть . Тогда + , ( ). Следовательно, существует число n1 n0 такое, что iу(п)>0, ( )
при n n1 , т.е. l =т-1.
Пусть . Тогда 2m-2у(п) 0 при n n0 . Значит, существует предел , который, как и выше, не может быть отрицательным.
Пусть . Тогда, начиная с некоторого n1 n0 , выполняются неравенства , iу(п) 0 , ( ) , т.е. снова l = т -1.
Наконец, пусть . Тогда необходимо 2m-3у(п) 0 при n n0
Итак, мы пришли к рассмотренному случаю ( 2m-1у(п) 0 при п > п0). Далее, повторяя вышеприведенные рассуждения, в итоге придем к соотношениям (2.1) и (2.2).
Лемма 2. Пусть при п п0 функция у(п) не меняет знак и удовлетворяет неравенствам (2.1). Тогда
( ; ), (п п0), (2.4) если l 0, то
(п п0). (2.5)
Доказательство. Пусть для определенности у(п) > 0. Тогда в силу (2.1) имеем
,
откуда
(п п0).
Предположим теперь, что
(п n0) для некоторого i {2, 3, ., l+1}. Отсюда, пользуясь преобразованием Абеля ([58],стр.25О), находим
откуда
(п n0).
Таким образом, по индукции последнее неравенство доказано для i .Из них непосредственно следует (2.4).
Неравенство (2.5) следует из равенства
+ ,
которое получается (m-l)-кратным суммированием по частям.
Лемма 2 доказана.
§2.2. Некоторые вопросы осцилляции решений уравнения y(n)=0
Рассмотрим уравнение
y(n)=0 , (2.6)
где т > 2, α > 0, функция а(п) определена на множестве N0.
Ниже будем говорить, что уравнение (2.6) обладает свойством (А), (Б), (В), (Г), если выполняются соответственно утверждения:
а) каждое решение у(п) уравнения (2.6) осциллирует;
б) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо
0 ( ) при ;
в) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо + ( ) при
г) каждое решение у(п) уравнения (2.6) либо осциллирует, либо 0 , либо + ( ) при
Теорема 2.1. Если α 1 и
<+ , (2.7)
то c уравнение (2.6) имеет неосциллирующее решение у(п) такое, что
Доказательство. Возьмем число d > |с| и подберем п0 так, чтобы n0>т-1 и
. (2.8)
Покажем, что оператор А, определяемый равенством
y(k),
сжато отображает полное метрическое пространство р(у,0) = d в себя. Действительно, пусть р(y1,0) 2d, p(y2,0) 2d. Тогда в силу (2.8)
Имеем
и
.
Следовательно, согласно теореме Банаха, уравнение у = Ау имеет единственное решение у(п) такое, что р(у,0) 2d.
С учетом (2.7) легко показать, что для этого у(n) имеет место равенство
y(k) y(n).
Таким образом, у(п) является решением уравнения (2.6), при этом y(n) = с. Теорема доказана.
Теорема 2.2. Пусть а(п) 0 и 0 < α < 1. Тогда условие
(2.9)
необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (Б).
Достаточность. Доказательство проведем методом от противного. Пусть выполняется условие (2.9), а уравнение(2.6) имеет неосциллирующее решение у(п), при этом у(п) не стремится к 0 при п . Пусть для определенности у(п) 0 (п п0). Легко видеть, что для него справедлива лемма 5, причем в силу (2.9) неравенства (2.1) будут строгими.
Пусть для этого решения l= 0.
Умножим обе части уравнения (2.6) на (n-n0+2m-2)2m-2 просуммируем от n0 до п. В результате будем иметь
(2.10)
В силу (2.1) и (2.10) последнее равенство противоречит (2.9). Следовательно, l .
Пусть l 1. Тогда прежде всего из (2.4) и (2.5) получаем
. (2.11)
С учетом последнего неравенства и (2.1) из уравнения (2.6) имеем
(n n1=n0+2m-1),
откуда
, c=[l!(2m-l-1)!]-α. (2.12)
Для левой части неравенства (2.12) имеет место оценка
=
= .
В силу последнего неравенство (2.12) противоречит (2.9). Итак, не может быть и этого случая. Этим достаточность условия (2.9) доказана.
Необходимость. Пусть сходится ряд . Покажем, что уравнение (2.6) имеет решение, неосциллирующее и не стремящееся к нулю при п . С этой целью возьмем число с 0 (пусть для определенности c>0 ). Фиксируем п0 так, чтобы
. (2.13)
Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.6), определяемое начальными данными: (i= ), . Покажем, что для этого
решения и тем самым будет доказана необходимость, а следовательно, теорема полностью.
Допустим противное, и пусть и, - самая левая точка, где
(легко убедиться, что n n1=n0+2m-2). Тогда с учетом начальных данных имеем
(i= ) ( ), (2.14)
откуда в силу (2.6)
( )
Суммирование этого неравенства от n0 до n-1 дает
( +1 ).
Однако, полученное неравенство выполняется и при п = n0, следовательно
( ).
Суммируя последнее неравенство т—1 раз от п0 до n с учетом (2.14) и формулы суммировании обобщенной степени
.
Находим
.
Имея в виду полученное и (2.13), из (2.6) находим
,
что противоречит определению точки п1. Теорема доказана.
Теорема 2.3Пусть а(п) 0 и а > 1. Тогда необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (Б) имеет вид
(2.15)
Доказательство. Необходимость следует из теоремы 2.1. Докажем достаточность.
Допустим, что теорема неверна. Тогда уравнение (2.6) имеет решение у(п), для которого выполняется один из случаев:
а) т нечетно, выполняются неравенства (2.1) при l = 0 и ;
б) выполняются неравенства (2.1) при l {l, 2, m-l}, причем m-l
нечетно.
Невозможность случая а) доказывается так же, как и теорема 2.2. Перейдем к рассмотрению случая б).
Пусть для определенности у(п) > 0 при п n0. Тогда из уравнения (2.6) при п n0 получаем
.
Просуммировав первое слагаемое по частям с учетом формулы суммирования обобщенной степени и равенства
,
будем иметь
. (2.16)
Далее, из (2.5) и (2.6) имеем
( п n0).
С учетом этого и неравенств (2.1), а, также имея в виду, что 1, находим
.
Если иметь в виду неравенства (2.1), то в силу последнего
равенство (2.16) противоречит условию (2.15). Следовательно, невозможен и случай б). Теорема доказана.
Теорема 2.4. Пусть а(п) 0, α=1и
, (2.17)
где φ(п) не убывает на и . Тогда уравнение (2.6) и обладает свойством (Б).
Доказательство. Допустим, что теорема 2.4неверна. Тогда уравнение (2.6) имеет неосциллирующее решение у(п), для которого выполняется один из случаев а) и б) доказательства теоремы 2.3. Невозможность случая а) доказывается так же, как и в теореме 2.2. Рассмотрим случай б).
Пусть для определенности у(n)>0 при п n0. Умножим обе части уравнении (2.6) на (п-по+2m-2)(2m-2)( (n)y(n))-1 просуммируем от п0 до n. Далее, рассуждая так же, как и в случае б) доказательства теоремы 2.3, заключаем, что для завершения доказательства теоремы 2.4 достаточно показать, что
.
С учетом (2.1), (2.11) и l 1
имеем
,
n1=n0+2m-3. Теорема доказана.
Теорема 2.5. Пусть а(п) 0 и 0 < α< 1. Тогда условие
(2.18)
необходимо и достаточно, чтобы уравнение (2.6) обладало свойством (В).
Доказательство. Пусть решение у(п) уравнения (2.6) не осциллирует и для определенности у(п) 0 (п п0). Легко видеть, что для этого решения в силу (2.18) неравенства (2.1) и (2.3) будут строгими. Если выполняются неравенства (2.1), то доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2.
Пусть выполняются неравенства (2.3). Из а(п) 0, у(п) 0 (п п0) и из (2.6) имеем ту(п) 0 (п п0) , откуда
(п п0) ,
т.е.
(п п0).
Суммируя последнее неравенство m-1 раз от п0 до п с учетом формулы суммирования обобщенной степени и неравенств (i= ), которые следуют из (2.3),получаем
(п п0),
откуда
(п п0+2m-2).
С учетом этого неравенства и (2.18) из (2.6) имеем
при .
Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть
. (2.19)
Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.6), определяемое начальными
данными: (i= ), . Покажем, что
, (2.20)
. (2.21)
С этой целью докажем, что
(i= ). (2.22)
При n = п0 неравенства (2.22) следуют из начальных данных и из (2.6). Пусть неравенства (2.22) соблюдаются при п = к. Тогда из равенства . Имеем
(i= ), а из (2.6) - ту(к +1) 0, т.е. неравенства (2.22) соблюдаются при n= к +1.
Таким образом, методом математической индукции неравенства (2.22) доказаны .
Неравенство (2.20) следует из у(n0+2m-2) = с и у(п) > 0 , а (2.21) – из и .
Далее покажем, что и тем самым будет доказана необходимость условия (2.18), а следовательно, и теорема 16 полностью. С учетом начальных данных и (2.22) имеем
,
т.е.
п п0.
Суммируя последнее неравенство т - 2 раза от n0 до п с учетом начальных данных, (2.22) и формулы суммирования обобщенной степени, получаем
п п0.
В силу последнего неравенства из (2.6) при n > n0 +1 имеем
откуда с учетом (2.21) и (2.19) получим
.
Теорема 2.5 доказана.
Теорема 2.6. Пусть 0 < αi < 1 и
. (2.23)
Тогда при ( ) уравнение
=0 (2.24)
обладало свойством (Б) [(B)].
Доказательство. Достаточность. Доказательство проведем методом от противного. Пусть выполняется условие (2.23), а уравнение(2.24) имеет неосциллирующее решение у(п), при этом у(п) не стремится к 0 при п . Пусть для определенности у(п) 0 (п п0).
Пусть для этого решения l= 0.
Умножим обе части уравнения (2.24) на (n-n0+2m-2)2m-2 просуммируем от n0 до п. Получаем
(2.25)
В силу (2.1) последнее равенство противоречит (2.23). Следовательно, l .
Пусть l 1. Тогда из (2.4) и (2.5) получаем
. (2.26)
С учетом (2.26)и (2.1) из уравнения (2.24) имеем
(n n1=n0+2m-1),
откуда
, c=[l!(2m-l-1)!]-αi . (2.27)
Для левой части неравенства (2.27) имеет место оценка
= =
= .
В силу последнего неравенство (2.27) противоречит (2.23). Итак, не может быть и этого случая. Этим достаточность условия (2.23) доказана.
Необходимость. Пусть сходится ряд . Покажем, что уравнение (2.24) имеет решение, неосциллирующее и не стремящееся к нулю при п . С этой целью возьмем число с 0 (пусть для определенности c>0). Фиксируем п0 так, чтобы
. (2.28)
Рассмотрим решение у(п) уравнения (2.24), определяемое начальными данными: (i= ), . Покажем, что для этого решения и тем самым будет доказана необходимость, а следовательно, теорема полностью.
Допустим противное, и пусть - самая левая точка, где (легко убедиться, что n n1=n0+2m-2). Тогда с учетом начальных данных имеем
(i= ) ( ), (2.29)
откуда в силу (2.24)
( ).
Суммирование этого неравенства от n0 до n-1 дает
( +1 ).
Однако, полученное неравенство выполняется и при п = n0, следовательно
( ).
Суммируя последнее неравенство т—1 раз от п0 до n с учетом (2.29) и формулы суммировании обобщенной степени
.
Находим
.
Имея в виду полученное и (2.28), из (2.24) находим
что противоречит определению точки п1. Теорема доказана.
В данной работе было изучено осцилляции решения уравнения в конечных разностях
для различных значений , которое рассмотрено в работе [4].
Была доказана методом от противного, сформулированная в работе [4], теорема 19 для случая и уравнения .
Список литературы
2. Бернштейн С.Н. Исчисление конечных разностей. Харьков, 1913.
3. Быков Я.В. Осцилляция решений операторно разностных уравнений с конечными разностями первого порядка.- Фрунзе: Илим, 1985.
4. Гайнуллин М.Н. Осцилляция решений некоторых разностных уравнений высшего порядка.- Уфа: Башгоспединститут, 1999.
5. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. ГИТТА,1967.
6. Марков А.А. Исчисление конечных разностей. Одесса, 1910.
7. Преображенский В.В. Разностное исчисление. Одесса, 1891.
8. Скалкина М.А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным. // ДАНСССР. 1995.- Т.104.№5.
9. Скалкина М.А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений. // ПММ. 1985.- Т.19. №3.
10. Скалкина М.А. Об устойчивости по первому приближению систем к уравнению в конечных разностях. // Тр. Уральск. политехн. ин-та, 1958.
11. Скалкина М.А. О колебаниях решений уравнений в конечных разностях. // Изв. Вузов: Математика. 1959. №6.
12. Тихомандрицкий М. Курс теории конечных разностей. Харьков,1890.
13. Agarwal Ravi P.,Wong Patricia J. On the oscillation of nonlinear difference equations second order. // Math. Inegual. and Appl. - 1998.- 1, №3. – c.349 -365.
14. Agarwal Ravi P., Grace S.R. Oscillation of certain third-order difference quations. // Comput. and Math. Appl. 2001. 42, № 3-5, c. 379-384.
15. Boole G.A. Atreatise on the calculus of finite differences, Gambridge, 1860.
16. Cheng Sui, Lin Yi-Zhong. Complete characteristic oscillation of neutral difference equations. // J. Math. Anal. and Appl. - 1998. - 221, №1.- c. 73-91.
17. Cogan E.I., Norman R.Z. Handbook of calculus difference and differential equations, 1958.
18. Enestrom G.H. Differenskalkulens historial. – Upsala UniversitetsArsskrift, 1987, math. orh. nat., №1.
19. Fu Sheng-Chen, Tsai Long-li. Oscillation of nonlinear neutral difference equations.// Comput. and Math. Appl. – 1998. – 36, № 10-12. – c.193 - 210.
20. Grace S.P., Abadeer A.A. On the oscillation second order difference equations.// Commun. Appl. Anal.- 1998. -2, №4. – c.447 – 455.
21. Grzegorczyk G., Werbowwski J. oscillation of highheroeder linear difference equations.// Comput. and Math. Appl. 2001.42, № 3 – 5, c.711 – 717.
22. Jiang J.C., Tang X.H. Oscillation of nonlinear delay difference equations. // J. Comput. and Math. Appl. 2002.146, № 2, c.395 – 404.
23. Liu Jinolo, Lio Zhiguang, Li Xuechen. Oscillation first order with variable coefficient difference equations. //Sluixe lilin yingyong = Math. Theor. and Appl.- 1999. – 19, № 1. c.98 - 102.
24. Li Wan Tong, Cheng Sui Sun. Criterion oscillation nonlinear difference equations.// Comput. and Math. – 1998, - 36, №8, - c.87 – 94.
25. Lu Ping, Zhang Xiao. Oscillation for a sort of difference equations. //Hua bei gongxueyuan xuebao = J. N. China Inst. Technol. 2001022, №5, с.373 – 375.
26. Milne – Thomson L.M. The calculus of finite differences. London, 1933.
27. Nörlund N.E. Differenzerechung. Berlin, 1924.
28. Nörlund N.E. Vorlesung über Differenzenrechnung. Berlin: verlag von J. Springer, 19924.
29. Peng Mingshu. Oscillation criteria for second- order impulsive delay difference equations. // Appl. Math. and Comput. 2003.143, №1, c.227 – 235.
30. Parhi N. Oscillation of order difference equations.// Proc. Indian Acad. Sci. math. Sci. 200.110, №2, c.147 - 155.
31. Saker S.H. Oscillation theorems of nonlinear difference equations of cecond order. // Georg. Math. J. 2003.10, №2, c.343 - 352.
32. Saker S.H. Oscillation theorems for second – order nonlinear delay difference equations. // Period. Math. hung. 2003.47, № 1-2, c.201 – 213.
33. Shen Jianhua, Luo Zhiguo. Come oscillation criteria for difference equations. // Comput. and Math. appl. 200.30, № 6-7, с.713 – 719.
34. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillation and nonoscillation of quasilinear difference equations of second order. // Glas. mat. Hrv. mat. druš. 1998.33, № 2, c.223 – 238.
35. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillatiory behavior of quasilinear difference equations of second order. // Indian. J. Pure and Appl. Math. 2000.31, №7, c.773 – 782.
36. Thandapani E., Ramuppillai L. Oscillation theorems of nonlinear difference equations . // Anal. and Anwed. 1998.17, № 2, c.513 – 519.
37. Thandapani E., Arockiasamy I.M. Oscillatiry and asymptotic properties of solutions of nonlinear fourth order difference equations. // Glas. mat. Hrv. mat. druš. 2002.37. № 1, c.119 – 131.
38. Thandapani E., Arockiasamy I.M. Fonth – order nonlinear oscillations of difference equations. // Comput. and Math. Appl.2001.42, № 3-5, c.357 – 368.
Тема: | «Разностные уравнения и поведение их решений» | |
Раздел: | Математика | |
Тип: | Дипломная работа | |
Страниц: | 35 | |
Цена: | 1300 руб. |
Закажите авторскую работу по вашему заданию.
- Цены ниже рыночных
- Удобный личный кабинет
- Необходимый уровень антиплагиата
- Прямое общение с исполнителем вашей работы
- Бесплатные доработки и консультации
- Минимальные сроки выполнения
Мы уже помогли 24535 студентам
Средний балл наших работ
- 4.89 из 5
написания вашей работы
-
Дипломная работа:
Методика изучения колеблющихся решений нелинейного разностного уравнения
46 страниц(ы)
Введение….….3
Глава 1. Понятие разностного уравнения, его решения и колеблемости решений…5
1.1 Некоторые обозначения и определения….….….51.2 Понятие разностного уравнения и его порядок ….….6РазвернутьСвернуть
1.3 Линейные уравнения первого порядка….14
1.3.1 Однородное линейное уравнение….14
1.3.2 Неоднородное линейное уравнение….15
1.4 Понятие колеблемости решений разностного уравнения. Колеблю-щиеся свойства решений одного нелинейного разностного уравнения…17
Глава II. Методика изучения колеблющихся свойств решений одного конечного разностного уравнения….23
2.1 Вспомогательные предложения….24
2.2 Некоторые вопросы колеблемости…29
2.3 Основные результаты….30
Заключение….38
Литература….39
-
Дипломная работа:
Методика изучения колеблющихся решений разностных уравнений
38 страниц(ы)
Введение 3
Глава 1. Понятие разностного уравнения, его решения и колеблемости его решений 5
1.1 Некоторые обозначения и определения 51.2 Уравнения в конечных разностях 6РазвернутьСвернуть
1.3 Линейные уравнения первого порядка 10
1.3.1 Однородные линейные уравнения 10
1.3.2 Неоднородные линейные уравнения 11
1.4 Понятие колеблемости решений разностного уравнения 13
Глава 2. Колеблющиеся свойства решений уравнения 19
Вспомогательные предложения 19
Некоторые вопросы колеблемости решений уравнения
22
Основные результаты 22
Заключение 33
Литература 34
-
ВКР:
85 страниц(ы)
Введение 3
1 Дифференциальные уравнения и асимптотические разложения решений 6
1.1 Линейные дифференциальные уравнения 61.2 Нелинейные дифференциальные уравнения 11РазвернутьСвернуть
1.3 Асимптотические оценки и их свойства 15
1.4 Асимптотические ряды и их свойства 18
1.5 Определение и основные свойства асимптотических разложений 22
1.6 Метод Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений 24
Выводы по первой главе 25
2 Моделирование решения краевой задачи для одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений 26
2.1 Постановка задачи и нахождение формального асимптотического разложения решения дифференциального уравнения 26
2.2 Нахождение численного решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 28
Выводы по второй главе 31
3 Методика применения компьютерное моделирование в школьном курсе информатики 32
3.1 Основные понятия и принципы компьютерного моделирования 32
3.2 Анализ элективных курсов по компьютерному моделированию в школе. 37
3.3 Элективный курс по компьютерному математическому моделированию в Maple 40
Выводы по третьей главе 55
Заключение 57
Список использованной литературы 59
Приложения 62
-
Дипломная работа:
Роль страхования в обеспечении строительства жилья в РФ и Оренбургской области
96 страниц(ы)
Введение
1 Теоретические основы страхования строительно-монтажных работ
1.1 Необходимость и специфика страхования строительно-монтажных работ1.2 Классификация страхования строительно-монтажных работРазвернутьСвернуть
1.3 Законодательная база страхования строительно-монтажных работ в Российской Федерации
1.4 Зарубежная практика страхования строительно-монтажных
2 Анализ строительства жилья и его страхования в Российской Федерации
2.1 Анализ страхования строительно-монтажных рисков в Российской Федерации
2.2 Анализ строительства жилья и структуры жилищного фонда в РФ, в том числе в Оренбургской области
2.3 Основные направления государственной жилищной политики в РФ
2.4 Региональная специфика в проведении жилищной политики (на примере Оренбургской области)
2.5 Страхование как элемент механизма обеспечения строительства жилья
3 Проблемы и предложения по развитию страхования строительно-монтажных рисков, в том числе жилищного строительства, и его качества
3.1 Проблемы и пути их решения на рынке страхования СМР и рынке страхования ответственности в рамках СРО
3.2 Проблемы и предложения по развитию страхования жилищного строительства, и его качества
Заключение
Список использованных источников
Приложение А Рэнкинг страховщиков по взносам по страхованию СМР (имущество и ответственность) за 2010
Приложение Б Рэнкинг страховщиков по взносам по страхованию СМР (имущество и ответственность) за первое полугодие 2011 года
Приложение В Рэнкинг страховщиков по взносам по страхованию ответственности в рамках СРО за 2010 год
Приложение Г Рэнкинг страховщиков по взносам по страхованию ответственности в рамках СРО за первое полугодие 2011 года
Приложение Д Динамика ввода в действие жилых домов в РФ
Приложение Е Динамика ввода в действие индивидуальных жилых домов в 2001-2010 гг.
Приложение Ж Динамика по вводу в действие жилых домов в городах и поселках городского типа и в сельской местности Оренбургской области в 2000-2010
Приложение И Международное сравнение среднего ввода в действие жилых домов на 100 человек населения в 2009 году
Приложение К Сравнение динамики ввода в действие общей площади жилых домов и выбытия по ветхости и аварийности
Приложение Л Коэффициент доступности жилья в РФ
Приложение М Индикаторы, характеризующие развитие ипотечного жилищного кредитования населения и рыка жилья -
Дипломная работа:
Методика изучения отдельных вопросов алгебры и начал анализа
255 страниц(ы)
Предисловие…7
Глава I. Методика изучения числовых систем….8
§1. Методика изучения делимости целых чисел…81.1. Делимость целых чисел. Делимость суммы, разностиРазвернутьСвернуть
и произведения….8
1.2. Деление с остатком….12
1.3. Делители….15
1.4. Простые числа….16
1.5. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа….17
1.6. Основная теорема арифметики….18
1.7. Прямые на решетке. Линейные уравнения…20
1.8. Алгоритм Евклида…26
1.9. Выберем наименьшее….31
1. 10. Уравнения и неравенства в целых числах….32
§2. Методика изучения темы «Числовые последовательности»…36
2.1. Определение последовательности. Способы задания последовательности ….37
2.2. Монотонные последовательности. Интерпретации….39
2.3. Ограниченность последовательности….43
2.4 Предел числовой последовательности…46
§3. Методические рекомендации к ведению профильного курса «Комплексные числа в общеобразовательной школе»….48
3.1 Определение комплексных чисел. Их геометрический смысл. Действия с комплексными числами…57
3.2 Сопряженные числа. Модуль и аргумент комплексного числа.58
3.3 Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия в тригонометрической форме….60
3.4 Комплексные числа и преобразования плоскости….60
3.5 Извлечение корней из комплексных чисел….62
3.6 Решение уравнений…62
3.7 Задачи с параметрами….63
§4. Сущность и принцип метода математической индукции…64
4.1 Трудности, возникающие при изучений метода….66
4.2 Специфика использования данного метода в обучении….67
4.3 Индуктивный метод при поиске решения задачи….75
Глава II. Методика изучения функций…77
§1. Методика изучения непрерывности и предела функции….77
1.1. Подготовка учащихся к изучению понятий предела и непрерывности функции, теорем о пределах….77
1.2. Наглядно-геометрический вариант введения и изучения предела функции действительного переменного на бесконечности….90
1.3. Наглядно-геометрический вариант изучения предела функции действительного переменного в точке…93
§ 2. Методика изучения сложной
2.1. Определение сложной функции….96
2.2. Свойства сложной функции….99
§3. Методика изучения обратной функции…112
3.1. Методика введения понятия обратной функции….112
3.2. Методика изучения обратной функции по учебнику «Алгебра и начала анализа» под редакцией М.И.Башмакова….124
§4. Методика изучения тригонометрических функций….134
4.1. О введении основных понятии тригонометрии в школе…136
4.2. Градусная и радианная меры угла. Числовая окружность….137
4.3. Тождественные преобразования тригонометрических
выражений….145
4.4. Методика изучения тригонометрических функций….155
4.5. Решение тригонометрических уравнений в школе. Подготовительный этап….168
4.6. Методы решения тригонометрических уравнений…177
4.7. Анализ решений тригонометрических уравнений….…191
4.8. Отбор корней в тригонометрических уравнениях….….193
4.9.О потере корней при решении тригонометрических уравнений 203
4.10. Классификация уравнений….206
4.11. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики….209
4.12. О блочном изучении темы \"Решение тригонометрических уравнений и неравенств\"…244
§5. Методика крупноблочного изучения показательной и логарифмической функции….256
5.1. Обобщение понятия степени. Корень - й степени и его свойства.….256
5. 2. Степень с рациональным показателем….260
5.3. Суть метода УДЕ (укрупнения дидактических единиц)….263
Глава III. Методика обучения решению уравнений и неравенств….294
§1. Трансцендентные уравнения и неравенства….294
1.1. Опорные знания….294
1.2. Показательные уравнения….296
1.3. Логарифмические уравнения….297
1.4. Тригонометрические уравнения…300
1.5. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции….….303
1.6. Сущность решения уравнений и неравенств…312
§2. Иррациональные уравнения и неравенства….317
2.1. Решение иррациональных уравнений….317
2.2. Решение иррациональных неравенств….322
2.3. Обобщенный метод интервалов…325
§3. Уравнения и неравенства, включающие функции {x} и [x].…327
§4. Рациональное решение уравнений и неравенств с модулем….339
§5. Уравнения и неравенства с параметрами. Функционально-графический метод….342
5.1 Опорные знания …342
5.2. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами…348
5.3. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами….357
5.4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
с параметрами….361
5.5. Методика введения функционально – графического метода при решении задач с параметрами ….368
5.6. Применение функционально-графического метода к решению задач с параметрами…373
5.7. Уравнения высших степеней ….377
§6. Методика изучения функциональных уравнений…386
6.1. Понятие функционального уравнения….… .386
6.2. Функциональная характеристика элементарных функций.405
6.3. Методы решения функциональных уравнений….416
§7. Системы алгебраических уравнений….432
§8. Классические неравенства в задачах….444
8.1. Неравенство Бернулли….444
8.2. Неравенство Коши….445
8.3. Неравенство Гюйгенса….449
8.4. Неравенство Коши-Буняковского….453
8.5. Неравенство Иенсена….455
§9. Применение свойств функций к решению уравнений и неравенств с переменными, других задач…457
Глава IV. Методика изучения производной и ее применений…465
§1. К вопросу о дифференцируемости функций…465
§2. Методические рекомендации к изучению производной и ее
применений….470
2.1. Введение. Обзор теоретического материала….470
2.2. Понятие о касательной к графику функции….471
2.3. Мгновенная скорость движения…472
2.4. Производная. Производные элементарных функций…473
2.5. Применение производной к исследованию функций…483
2.6. Другие приложения производной…490
Глава V. Первообразная и интеграл….500
§1. Методика формирования понятия первообразной….500
§2. Область определения первообразной…503
§3. Методика изучения интеграла….505
3.1. Методика изучения неопределенного интеграла….505
3.2. Методика изучения определенного интеграла….506
3.3 Свойства определенного интеграла….512
Глава VI. Задачи повышенной трудности….518
Литература.….551
-
Дипломная работа:
Методика изучения тригонометрических функций. тригонометрические уравнения и неравенства
95 страниц(ы)
Введение 3
Глава I. Определения и основные свойства тригонометрических функций
1.1. Радианная мера дуги. Тригонометрическая окружность 61.2. Связь между числовой прямой и числовой окружностью 9РазвернутьСвернуть
(Лекция-беседа для учащихся 9 – 10 классов)
1.3. Определение основных тригонометрических функций 12
Глава II. Обратные тригонометрические функции 27
2.1. Определение, свойства и графики обратных тригонометрических
функций 28
2.2. Уравнения и неравенства, содержащие обратные
тригонометрические функции 37
Глава Ш. Тригонометрические уравнения и системы 44
3.1. Общие замечания
3.2. Основные способы решения тригонометрических уравнений 46
3.3. Системы тригонометрических уравнений 56
Глава IV. Тригонометрические неравенства. 60
4.1. Доказательство неравенств, связанных с тригонометрическими
функциями
4.2. Решение тригонометрических неравенств 66
4.3. Решение тригонометрических неравенств методом интервалов на
тригонометрической окружности 70
Глава V. Факультативные занятия 79
5.1. Факультативное занятие на тему: Эти разные синусы.
(Гиперболический синус) 81
5.2. Факультативное занятие на тему: Решение «нестандартных»
задач 85
Заключение 92
Не нашли, что искали?
Воспользуйтесь поиском по базе из более чем 40000 работ
Предыдущая работа
О росте целой функции в полосе и во всей плоскости




-
Дипломная работа:
72 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ…. 3
ГЛАВА 1 . ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ФОРМИРОВАНИЯ КОММУНИКАТИВНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ…. 81.1.Особенности универсальных учебных действий в системе начального образования ….8РазвернутьСвернуть
1.2.Коммуникативные универсальные учебные действия….10
1.3.Особенности развития коммуникативных универсальных учебных действий у учащихся начальных классов на уроках математики….26
Выводы по первой главе . ….37
ГЛАВА 2 . ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ФОРМИРОВАНИЮ КОММУНИКАТИВНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ….38
2.1. Диагностический инструментарий по формированию коммуникативных компетенций у младших школьников на уроках математики ….38 2.2. Результаты экспериментальной работы.….53 2.3. Методические рекомендации по формированию коммуникативных универсальных учебных действий ….55
Выводы по второй главе .…58
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ….59
ЛИТЕРАТУРА….….61
ГЛОССАРИЙ ПО КАТЕГОРИАЛЬНОМУ АППАРАТУ…67
ГЛОССАРИЙ ПО ПЕРСОНАЛИЯМ ….70 -
Магистерская работа:
81 страниц(ы)
Введение 3
ГЛАВА 1. ФОРМИРОВАНИЕ ЦЕННОСТНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ У ОБУЧАЮЩИХСЯ КОЛЛЕДЖА КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА1.1. Формирование ценностных ориентаций у обучающихся в научной литературе и практике 9РазвернутьСвернуть
1.2. Социально-психологический портрет студента технического колледжа 29
1.3. Педагогическая модель формирования ценностных ориентаций обучающихся технического колледжа 36
Выводы по первой главе 38
ГЛАВА 2. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВНЕДРЕНИЮ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ЦЕННОСТНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ У СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКОГО КОЛЛЕДЖА
2.1. Организация опытно-экспериментальной работы 41
2.2. Содержание деятельности и технологии формирования ценностных ориентаций студентов 46
2.3. Результаты опытно-экспериментальной работы 48
Выводы по второй главе 60
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61
БИБЛИОГРАФИЯ 64
ПРИЛОЖЕНИЯ 71
-
Дипломная работа:
62 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ….… 3
ГЛАВА I. ПОНЯТИЕ О ГЕНЕАЛОГИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ СЛАВЯНСКИХ ЯЗЫКОВ….7
1.1. Краткий обзор общепризнанных классификаций языков. 71.2. Генеалогия славянских языков….…. 14РазвернутьСвернуть
1.3. Славянские языки….…. 18
1.4. Особенности фонетической системы славянских языков….…. 22
ВЫВОДЫ К I ГЛАВЕ… 25
ГЛАВА II. СЛАВЯНСКИЕ ЯЗЫКИ НАРОДОВ СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ….….28
2.1. Общая характеристика Республики Башкортостан как региона России.28
2.2. Изучение русских говоров в Башкортостане….…. 40
2.3. Характеристика русских говоров Свердловской области….…. 43
2.4. Разработка внеклассного мероприятия по теме «Славянские языки» …48
ВЫВОДЫ КО II ГЛАВЕ… 54
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.…. 56
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ….…. 58
СЛОВАРИ…. 62 -
Контрольная работа:
Декоративно-прикладное искусство в жизни человека. Подготовка к празднику
20 страниц(ы)
План урока
7 класс
Тема года: «Декоративно – прикладное искусство в жизни человека».
Тема четверти: «Декоративное искусство в современном мире».Тема урока: «Декоративно – прикладное искусство в жизни человека.РазвернутьСвернуть
Вид урока: Урок образовательного путешествия.
Тип урока: Нетрадиционный.
-
ВКР:
Реализация инновационной технологии дополненная реальность в курсе информатики
34 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ТЕОРИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИИ ДОПОЛНЕННОЙ РЕАЛЬНОСТИ 5
1.1.Понятие дополненной реальности 51.2.Основные способы реализации AR 10РазвернутьСвернуть
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ СОЗДАНИЯ ПРИЛОЖЕНИЯ ДОПОЛНЕННОЙ РЕАЛЬНОСТИ
2.1. Выбор темы и тестирование разработки приложения для реализации в учебной деятельности по информатике 16
2.2. Методические рекомендации по реализации приложения "Информатика" в учебном процессе 23
Заключение 30
Список используемой литературы 32
Приложение 35
-
Дипломная работа:
Изучение и развитие аналитико-синтетической деятельности у дошкольников с общим недоразвитием речи
90 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У ДОШКОЛЬНИКОВ С НАРУШЕНИЯМИ РЕЧИ 61.1 Изучение данного вопроса в специальной литературе 6РазвернутьСвернуть
1.2 Онтогенетические закономерности аналитико-синтетической деятельности 11
1.3 Психолого-педагогическая характеристика детей с ОНР 24
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 28
ГЛАВА II. ОПЫТНО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ У ДОШКОЛЬНИКОВ С НАРУШЕНИЯМИ РЕЧИ 29
2.1 Цели, задачи, содержание эксперимента 29
2.2 Анализ результатов экспериментальных данных 40
2.3 Методические рекомендации по развитию фонематического компонента речи у дошкольников старшего возраста 50
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2 60
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 63
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 67
ПРИЛОЖЕНИЯ 73
-
Дипломная работа:
Сравнительные особенности лексики британских качественных и популярных газет в системе обучения
66 страниц(ы)
Введение 3
1. Качественные и популярные газеты Великобритании 5
1.1 Общая характеристика прессы Великобритании1.2 Особенности газетного текста 5РазвернутьСвернуть
Выводы по первой главе 20
2. Лексические, семантические, грамматические и структурные особенности качественных и популярных газет XXI века 22
2.1 Качественный газеты
2.2 Популярные газеты
2.3 Особенности организации текстов в качественных и популярных газетах
Выводы по второй главе 22
3. Учебно-методическая разработка занятия по прессе
3.1. Методическое содержание работы с иноязычным текстом
3.2 Актуальность использования газетных статей на уроках иностранного языка
3.3 Опытно-практическая работа по развитию интереса к английскому языку в 9 классе
Выводы по третьей главе
Заключение
Список использованной литературы 39
-
Дипломная работа:
34 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
1.1. Роль и значение лыжных занятий для физического совершенствования школьников1.2. Анатомо-физиологические особенности учащихся младших классовРазвернутьСвернуть
1.3. Особенности воспитания физических качеств у учащихся младших классов
1.4. Классификация и содержание упражнений применительно к задачам воспитания двигательных качеств в программе по физической культуре
ГЛАВА 2. ЦЕЛЬ, ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.1. Цель и задачи исследования
2.2. Методы исследования
2.2.1. Анализ научно-методической литературы
2.2.2. Тестирование физической подготовленности
2.2.3. Педагогический эксперимент
2.2.4. Методы математической статистики
2.3.Организация исследования
ГЛАВА 3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
3.1. Сравнительный анализ развития физических качеств и физической подготовленности учащихся опытных групп в начале исследования
3.2. Влияние занятий лыжами на развитие физических качеств и динамику физической подготовленности учащихся 5-х классов
ВЫВОДЫ
ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
-
Дипломная работа:
Проектирование и разработка информационной системы «диагностика коммуникативной компетентности»
90 страниц(ы)
Введение
Глава I. Теоретическое исследование коммуникативной компетентности
1.1. Понятие коммуникативной компетентности1.2. Детерминанты коммуникативной компетентностиРазвернутьСвернуть
1.3. Диагностика коммуникативной компетентности
Глава II. Аспекты создания информационной системы «Диагностика коммуникативной компетентности»
2.1. Теоретическое обоснование структуры информационной системы
2.2. Техническое задание на создание электронного пособия
2.3. Структура информационной системы
2.4. Основные элементы языков, используемых при разработке информационной системы
2.5. Экономический анализ проектирования и применения информационной системы
Глава III. Исследование коммуникативной компетентности
3.1. Организация исследования
3.2. Методы и методики исследования коммуникативной компетентности
3.3. Анализ и интерпретация полученных результатов эмпирического исследования коммуникативной компетентности
Заключение
Список использованной литературы
Приложения
-
Дипломная работа:
Применение навыков звукорежиссуры в проведении концертно-зрелищных мероприятий
66 страниц(ы)
ВВЕДЕНИЕ….…3
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ЗВУКОВОМУ СОПРОВОЖДЕНИЮ КОНЦЕРТНО-ЗРЕЛИЩНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ….51.1. Понятие технологии и структурные составляющие в постановке концертно-зрелищных программ….….….….5РазвернутьСвернуть
1.2. Роль звукорежиссера во время проведения концертно-зрелищных мероприятий….….….….…25
Выводы по первой главе….…50
ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ НАВЫКОВ ЗВУКОРЕЖИССУРЫ В ПРОВЕДЕНИИ КОНЦЕРТНО-ЗРЕЛИЩНЫХ МЕРОПРИЯТИЙ….….52
2.1. Методические рекомендации по организации и проведению концертно- зрелищных мероприятий….….52
2.2. Описание творческого проекта по теме исследования….….….55
Выводы второй главе ….…58
ЗАКЛЮЧЕНИЕ….….….59
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:….….….…61